Incentri e quadrilatero ciclico

[Francesco Sala]

Il seguente problema si può considerare un classico; è apparso in varie forme su numerosi siti e riviste di problem-solving, nonchè in un test iraniano di selezione per le IMO.

In un quadrilatero $ ABCD $ sia $ P $ l'intersezione delle diagonali $ AC $ e $ BD $. Consideriamo gli incentri dei triangoli $ ABP,BCP,CDP,DAP $.
Dimostrare che questi quattro punti sono conciclici se e solo se $ ABCD $ ammette un cerchio inscritto.