Simmetrie, parallele e retta di Eulero

[Francesco Sala]

In un triangolo $ ABC $ sia $ \omega $ l'incerchio, di centro $ I $ e raggio $ r $; sia $ \Gamma $ il circocerchio, di centro $ O $ e raggio $ R $. Sia $ K $ quel punto sul segmento $ OI $ tale che $ \displaystyle{\frac{KI}{KO}=\frac{2r}{R}} $. Chiamiamo $ D,E,F $ i punti di contatto di $ \omega $ con i lati di $ ABC $ e prendiamo un punto $ P $ sulla retta $ OI $. Sia $ \mathcal{T}_1 $ il triangolo formato dai simmetrici di $ P $ nei lati di $ DEF $, e $ \mathcal{T}_2 $ il triangolo formato dai simmetrici di $ K $ nei lati di $ ABC $.
Dimostrare che i triangoli $ \mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2 $ sono ortologici, e che al variare di $ P $ su $ OI $ uno dei due centri di ortologia si muove su una linea parallela alla retta di Eulero di $ ABC $.