PreIMO 2011/G1

[Talete]

Riporto questo problema dal PreIMO 2011, di cui cerco una soluzione decente (leggasi: non in baricentriche).

Sia $ABC$ un triangolo equilatero e sia $O$ il suo circocentro. Sia $M$ un punto del segmento $BC$ e siano $K$ ed $L$ le proiezioni di $M$ sui lati $AB$ e $AC$, rispettivamente.
Dimostrare che la retta $OM$ passa per il punto medio del segmento $KL$.

Qui è la mia dimostrazione in baricentriche:

Testo nascosto:

Allora,
$A=(1,0,0)$; $B=(0,1,0)$; $C=(0,0,1)$;
$O=(1:1:1)=(⅓,⅓,⅓)$;
$M=(0,\vartheta,1-\vartheta)$ dove $\vartheta$ è il parametro di scelta di $M$.
$K=(x_k,1-x_k,0)$ e $L=(x_l,0,1-x_l)$ dove ora devo trovare $x_k$ e $x_l$ in funzione di $\vartheta$.

Ora, per EFFT, per far sì che $AB=(1,-1,0)$ sia perpendicolare ad $MK=(-x_k,\vartheta-1+x_k,1-\vartheta)$, devo avere che:
\[\vartheta-1+x_k-1+\vartheta+x_k+1-\vartheta=0 \Rightarrow x_k=\frac{1-\vartheta}2.\]
Ho così trovato $K=(\frac{1-\vartheta}2,\frac{1+\vartheta}2,0)$. Devo ora trovare similmente $L$, e dunque per EFFT devo avere:
\[\vartheta+x_l-\vartheta+x_l-\vartheta=0 \Rightarrow x_l=\frac{\vartheta}2.\]
Ho trovato $L=(\frac{\vartheta}2,0,\frac{2-\vartheta}2)$. Sia ora $Z$ il punto medio di $KL$, quindi $Z=(1:1+\vartheta:2-\vartheta)$.

Ora, mi basta dimostrare che $O$, $M$ e $Z$ sono collineari, quindi che la matrice così composta:

\[\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & \vartheta & 1-\vartheta \\
1 & 1+\vartheta & 2-\vartheta
\end{bmatrix}\]

ha determinante $0$ (e quindi si chiude facendo i calcoli).

Ora, vi chiedo: come si fa un problema del genere in sintetica? Help!

[matpro98]

Per $O$ hai messo le coordinate di $G$. In sintetica puoi provare a dimostrare ugualmente la collinearità, più tardi ci provo

[Talete]

Sì, ma se $ABC$ è equilatero allora $O=G$. Le coordinate sarebbero $(\sin2\alpha:\sin2\beta:\sin2\gamma)$, ma $\alpha=\beta=\gamma$, quindi divido e ho $(1:1:1)$.

[matpro98]

Ah, ok, non avevo letto equilatero