Sia $ABC$ un triangolo, inscriviamo in $ABC$ un quadrato in modo che abbia due vertici su $BC$ e gli altri due vertici sui lati $AB$ e $AC$, chiamiamo $O_A$ il centro di questo quadrato. Allo stesso modo troviamo i punti $O_B$ e $O_C$ lavorando sugli altri due lati.
Dimostrare che $AO_A$, $BO_B$, $CO_C$ concorrono.
Concorrenza!
Concorrenza!
Se le persone credono che la matematica non sia semplice, è soltanto perché non si rendono conto di quanto la vita sia complicata.
John von Neumann
John von Neumann
Concorrenza, più in generale!
Io riscriverei "... in modo che abbia due vertici sulla retta \(BC\)...", in modo da includere anche i triangoli ottusangoli. 
Sapendo che esiste l'omotetia di centro \(A\) che manda il quadrato di centro \(O_A\) in quello costruito su \(BC\), di centro \(O_A'\) (l'omotetia esiste perché il lato del primo quadrato opposto a \(BC\) è parallelo a \(BC\)), allora la stessa omotetia manda \(O_A\) in \(O_A'\) e dunque \(A,O_A,O_A'\) sono allineati. Il problema diventa così un caso particolare di un teorema enunciato e dimostrato da qualche parte qui .
Lo riporto qui in versione low knowledge
Dati un triangolo \(ABC\) e tre punti \(D\),\(E\) ed \(F\) nello stesso piano, gli angoli orientati
\[ \widehat{CAE}=\widehat{FAB},\widehat{ABF}=\widehat{DBC}, \widehat{BCD}=\widehat{ECA} \implies \textrm{le rette }AD, BE, CF\textrm{ concorrono }\]Dimostrazione
Indichiamo \(\delta=\widehat{CAE}=\widehat{FAB}, \ \varepsilon=\widehat{ABF}=\widehat{DBC},\ \zeta=\widehat{BCD}=\widehat{ECA}\); con \(a,b,c,\alpha, \beta, \gamma \) le solite cose; \(p=\cfrac{a \sin \delta}{\sin (\alpha+\delta)}, \ q=\cfrac{b \sin \varepsilon}{\sin (\beta+\varepsilon)}, \ r=\cfrac{c \sin \zeta}{\sin (\gamma+\zeta)}\), se nessuno tra \(D,E,F\) giace sulla retta \(AB\) / \(BC\) / \(CA\) (in caso contrario, \(AD, BE, CF\) concorrono in un vertice di \(ABC\)). Nel sistema di coordinate baricentriche rispetto ad \(ABC\) l'equazione della retta \(AD\) è nella forma \(my=nz\), dunque \(\cfrac{m}{n}=\cfrac{[ABD]}{[ADC]}=\cfrac{c\, BD\, \sin (\beta +\varepsilon)}{b\, CD\, \sin (\gamma + \zeta)} \underset{\textrm{dei seni}}{\overset{\textrm{per il teorema}}{=}} \cfrac{c\, \sin \zeta \, \sin (\beta +\varepsilon)}{b\, \sin \varepsilon \, \sin (\gamma + \zeta)}=\dfrac{r}{q} \) \(\implies \textrm{retta }AD:\ ry=qz\). Ciclando, si ha che \(\textrm{retta }BE:\ rx=pz\) e \(\textrm{retta }CF:\ qx=py\). Si nota immediatamente che le tre rette concorrono nel punto \([p:q:r]\).
Sapendo che esiste l'omotetia di centro \(A\) che manda il quadrato di centro \(O_A\) in quello costruito su \(BC\), di centro \(O_A'\) (l'omotetia esiste perché il lato del primo quadrato opposto a \(BC\) è parallelo a \(BC\)), allora la stessa omotetia manda \(O_A\) in \(O_A'\) e dunque \(A,O_A,O_A'\) sono allineati. Il problema diventa così un caso particolare di un teorema enunciato e dimostrato da qualche parte qui .
Lo riporto qui in versione low knowledge
Dati un triangolo \(ABC\) e tre punti \(D\),\(E\) ed \(F\) nello stesso piano, gli angoli orientati
\[ \widehat{CAE}=\widehat{FAB},\widehat{ABF}=\widehat{DBC}, \widehat{BCD}=\widehat{ECA} \implies \textrm{le rette }AD, BE, CF\textrm{ concorrono }\]Dimostrazione
Indichiamo \(\delta=\widehat{CAE}=\widehat{FAB}, \ \varepsilon=\widehat{ABF}=\widehat{DBC},\ \zeta=\widehat{BCD}=\widehat{ECA}\); con \(a,b,c,\alpha, \beta, \gamma \) le solite cose; \(p=\cfrac{a \sin \delta}{\sin (\alpha+\delta)}, \ q=\cfrac{b \sin \varepsilon}{\sin (\beta+\varepsilon)}, \ r=\cfrac{c \sin \zeta}{\sin (\gamma+\zeta)}\), se nessuno tra \(D,E,F\) giace sulla retta \(AB\) / \(BC\) / \(CA\) (in caso contrario, \(AD, BE, CF\) concorrono in un vertice di \(ABC\)). Nel sistema di coordinate baricentriche rispetto ad \(ABC\) l'equazione della retta \(AD\) è nella forma \(my=nz\), dunque \(\cfrac{m}{n}=\cfrac{[ABD]}{[ADC]}=\cfrac{c\, BD\, \sin (\beta +\varepsilon)}{b\, CD\, \sin (\gamma + \zeta)} \underset{\textrm{dei seni}}{\overset{\textrm{per il teorema}}{=}} \cfrac{c\, \sin \zeta \, \sin (\beta +\varepsilon)}{b\, \sin \varepsilon \, \sin (\gamma + \zeta)}=\dfrac{r}{q} \) \(\implies \textrm{retta }AD:\ ry=qz\). Ciclando, si ha che \(\textrm{retta }BE:\ rx=pz\) e \(\textrm{retta }CF:\ qx=py\). Si nota immediatamente che le tre rette concorrono nel punto \([p:q:r]\).
[math]