La ceviana della ceviana è una ceviana

[karlosson_sul_tetto]

Dato un triangolo ABC, poi D,E,F tre punti su BC, CA, AB rispettivamente in modo che AD,BE, CF concorrono in P. Siano L,M,N tre punti su EF,FD,DE rispettivamente. Dimostrare che DL,EM,FN concorrono se e solo se AL,BM,CN concorrono.

[cip999]

Siano $\alpha_1 := \widehat{BAL},\; \alpha_2 := \widehat{LAC}$ e cicliche ($\beta_1, \: \beta_2, \: \gamma_1, \: \gamma_2$). Si ha che $FL = \dfrac{AF\sin\alpha_1}{\sin\widehat{ALF}}$ (teorema dei seni su $\triangle AFL$) e $LE = \dfrac{EA\sin\alpha_2}{\sin\widehat{ALE}}$ (teorema dei seni su $\triangle ALE$). Dunque $$\frac{FL}{LE} = \frac{AF\sin\alpha_1}{\sin\widehat{ALF}} \cdot \frac{\sin(\pi - \widehat{ALF})}{EA\sin\alpha_2} = \frac{AF\sin\alpha_1}{EA\sin\alpha_2}$$
Ciclicamente $\dfrac{DM}{MF} = \dfrac{BD\sin\beta_1}{FB\sin\beta_2}$ e $\dfrac{EN}{ND} = \dfrac{CE\sin\gamma_1}{DC\sin\beta_2}$.
Quindi $$\frac{FL}{LE}\frac{EM}{MD}\frac{DN}{NF} = \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB} \cdot \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\frac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\frac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2} \qquad (*)$$
Per Ceva su $\triangle ABC$ abbiamo che $AD, \: BE, \: CF$ concorrono $\Leftrightarrow \dfrac{BD}{DC}\dfrac{CE}{EA}\dfrac{AF}{FB} = 1$, ergo $$(*) \quad \Leftrightarrow \quad \frac{FL}{LE}\frac{EM}{MD}\frac{DN}{NF} = \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\frac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\frac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2}$$
Ora, per Ceva trigonometrico $AL, \: BM, \: CN$ concorrono $\Leftrightarrow \dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\dfrac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}\dfrac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2} = 1$.
Quindi, per $(*)$, $$AL, \: BM, \: CN \; \text{concorrono} \quad \stackrel{(*)}{\Leftrightarrow} \quad \frac{FL}{LE}\frac{EM}{MD}\frac{DN}{NF} = 1 \quad \Leftrightarrow \quad DL, \: EM, \: FN \; \text{concorrono}$$