80. Disuguaglianze.

[Giovanni_98]

In un triangolo $ABC$ sia $I$ il suo incentro e siano $M$ ed $N$ i punti medi di $AB$ ed $AC$ rispettivamente. Definiamo poi $K$ come l'intersezione fra $CI$ ed $MN$ e definiamo $L$ come l'intersezione fra $BI$ ed $MN$. Dimostrare la seguente disuguaglianza : $$AI+BI+CI > BC+LK$$

[erFuricksen]

Testo nascosto:

Per il teorema di Talete, $\angle NKC= \angle KCB$ e $\angle MLB =\angle LBC$, quindi i triangoli $\triangle NKC$ e $\triangle MLB$ sono isosceli, da cui ricaviamo $ML={1 \over 2}c$ e $NK={1 \over 2}b$. Quindi siccome $MN={1 \over 2}a$ posso scrivere che $LK=ML+NK-MN={1 \over 2}b+{1 \over 2}c-{1 \over 2}a$. Allora la nostra tesi diventa $AI+BI+CI>{1 \over 2}(a+b+c)$, che è vera dalla somma delle disuguaglianze triangolari su $\triangle ABI$, $\triangle BCI$ e $\triangle ACI$.

[Giovanni_98]

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