Eulero Mente?

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Saro00
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Eulero Mente?

Messaggio da Saro00 » 10 gen 2016, 16:56

Guardando un po' (2) di casi notevoli, ho notato questa cosa.
Vorrei che qualche pro mi dicesse se é vera o meno (e in caso affermativo mi dicesse come si dimostra).
Sia $ ABC $ un triangolo e $ P $ un punto tale che le rette di Eulero di $ ABP,\, ACP,\, BCP $ concorrono in $ Q $. É sempre vero che $ Q $ sta sulla retta di Eulero di $ ABC $?
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

Francesco Sala
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Re: Eulero Mente?

Messaggio da Francesco Sala » 10 gen 2016, 22:16

La risposta è affermativa; si tratta di una configurazione molto nota agli appassionati, anche se è un po' avanzata.
Per quanto riguarda la dimostrazione, mi sento di avvisare che quello che scriverò qui sotto esula almeno in parte dal materiale realmente utile per le olimpiadi.

Esiste un
Teorema (SONDAT:) Siano dati due triangoli $ ABC,A'B'C' $ tali che le rette $ AA',BB',CC' $ concorrono in un punto $ X $. Supponiamo inoltre che la perpendicolare da $ A $ a $ B'C' $ e cicliche concorrano in un punto $ P $; similmente supponiamo che le perpendicolari da $ A' $ a $ BC $ e cicliche concorrano in un punto $ Q $ (in realtà questi ultimi due fatti sono equivalenti).
Allora $ P,Q,X $ sono allineati.

Per una dimostrazione (più o meno) elementare puoi vedere la lezione G3 advanced dello stage Senior 2014 (disclaimer: sarebbe meglio approcciarvisi se si ha qualche dimestichezza con la geometria proiettiva elementare).

Ora basta prendere come triangoli quelli formati dai baricentri e dai circocentri di $ ABP,BCP,CAP $.

Questo è ciò che conosco che affronti la questione nella maniera più sintetica e geometrica possibile. Mi rendo conto che il tutto potrebbe apparire un po' involuto, ma la necessità di mantenere il discorso più elementare possibile lo rende inevitabile. Aggiungerei che l'utilizzo delle coniche e delle loro proprietà permette di costruire soluzioni più naturali, ma probabilmente meno adatte a questo contesto.
In alternativa, l'utilizzo delle coordinate è un valido strumento per altri approcci.

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Kfp
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Re: Eulero Mente?

Messaggio da Kfp » 11 gen 2016, 01:52

Giusto per mandare allegramente a puttane la premura di Francesco nel mantenere il discorso elementare, in questo pdf c'è una dimostrazione di Sondat e di altri fatti interessanti connessi alla configurazione di Saro con coniche e amenità connesse, per tutti quelli abbastanza forti di stomaco. Tutto ciò non è per niente olimpico, beninteso

http://jcgeometry.org/Articles/Volume2/ ... herjee.pdf

Il teorema fondamentale ivi dimostrato(?) è che, dato un triangolo $\Delta ABC$, i seguenti tre fatti sono equivalenti:


(i) Le rette di Eulero di $\Delta PBC$, $\Delta PAC$, $\Delta PBA$ concorrono;
(ii) Dette $A'$, $B'$, $C'$ le riflessioni di $P$ sui rispettivi lati, $AA'$ e cicliche concorrono;
(iii) Detto $P'$ il coniugato isogonale di $P$, $PP'$ è parallela alla retta di Eulero di $\Delta ABC$;
"Signora, lei sì che ha le palle, mica come quella checca di suo figlio"

"La zuppa magica dedicata a te Gianluca"

"È "iamo", non rompere i coglioni"

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