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Un triangolo acutangolo $ ABC $ é iscritto in una circonferenza di centro $ O $ . La bisettrice di $ ∠A $ interseca $ BC $ in $ D $ , e la perpendicolare ad $ AO $ per $ D $ interseca $ AC $ in $ P $ .
Dimostrare che $ AB=AP $

Con le ovvie notazioni di angoli $\displaystyle \widehat{ADB}=180^\circ-\beta-\frac{\alpha}{2}$, $\displaystyle \widehat{PDA}=180^\circ-\widehat{APD}-\frac{\alpha}{2}$.
Siccome voglio $\widehat{ADB}=\widehat{PDA}$ devo dimostrare $\widehat{APD}=\beta$.
Siano $Q=DP \cap AO$ e $R$ il simmetrico di $A$ rispetto a $O$. I triangoli $AQP$ e $ARC$ sono rettangoli, il primo perché $QP=DP \perp AO=AQ$ (per uguali qui intendo le rette) e il secondo perché $\widehat{ACR}$ insiste sul diametro della circoscritta a $ABC$ quindi è retto, e questi due triangoli rettangoli hanno anche un altro angolo in comune, $\widehat{QAP}=\widehat{RAC}$, quindi anche l'altro angolo è uguale, perciò $\widehat{CRA}=\widehat{APQ}=\widehat{APD}$, quindi mi basta $\widehat{CRA}=\beta=\widehat{CBA}$, ma questò è vero perché entrambi i due angoli alla circonferenza circoscritta a $ABC$ insistono sulla corda $AC$.
Considero ora $ABD$ e $ADP$:
$AD$ in comune;
$\widehat{BAD}=\widehat{DAP}$ perché $AD$ è bisettrice di $\widehat{BAC}=\widehat{BAP}$;
$\widehat{ADB}=\widehat{PDA}$ per quanto dimostrato.
I due triangoli sono quindi congruenti (un lato e angoli ad esso adiacenti uguali) e in particolare $AB=AP$ $q.e.d.$.

Dunque?

Alternativamente
Chiamiamo K il piede dell'altezza da A. AK e AO sono ceviane isogonali (perché O è il circocentro), da cui l'angolo BAK è congruente all'angolo PAO e da qui in poi basta dimostrare che i triangoli ABK e APO sono congruenti che è banale