Innanzitutto il testo:
Sia $\Omega$ una circonferenza e sia $ABCD$ un quadrilatero inscritto in $\Omega$. Sia $E=AC \cap BD$ e sia $F=BC \cap DA$ (supponiamo $A$ compreso tra $F$ e $D$, $B$ compreso tra $F$ e $C$). Sia $M$ il punto medio dell'arco $AB$ non contenente $C$. Sia $N$ il punto medio dell'arco $CD$ contenente $A$. Siano $I_1,I_2,I_3,I_4$ gli incentri dei triangoli $\triangle ABE, \triangle CDE, \triangle ABF , \triangle CDF$ rispettivamente.
$\bullet $ Dimostrare che $I_1,I_3,M$ sono allineati. Dimostrare che $I_2,I_4,N$ sono allineati.
$\bullet $ Detto $X$ il punto di intersezione delle rette del punto precedente, dimostrare che $X \in \Omega$.
Ora il teorema/lemma , di cui non posto la mia soluzione perché è carino da dimostrare:
Teorema: Sia $ABCD$ un quadrilatero ciclico e sia $I$ l'incentro del triangolo $\triangle ABC$. Sia $\Lambda$ una circonferenza tangente a $AC$ in $X$ , a $BD$ in $Y$ ed all'arco $AB$ non contenente $C,D$ in $T$. Allora $I,X,Y$ sono allineati ed in più i quadrilateri $TBYI,TAXI$ sono entrambi ciclici.
Vi chiederete a cosa serve, ecco in spoiler uno sketch veloce (senza dimostrazioni) del punto a cui sono arrivato:
Testo nascosto: