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Siano $\Gamma_1, \Gamma_2$ due circonferenze tangenti esternamente in $A$ e sia $r$ la retta di tangenza
Siano $B,D$ e $C,E$ punti rispettivamente su $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ tali che $\angle DAB = \angle CAE $
Sia $P$ la seconda intersezione delle circonferenze per $ABE$ e $ACD$

Dimostrare che $AP$ ed $r$ sono simmetriche rispetto alla bisettrice di $\angle CAB$

"Dimostrare che $AP$ ed $r$ sono simmetriche rispetto alla bisettrice di $\angle CAB$"
È lo stesso di provare $\angle (r, AE)=\angle PAD$.

Sia $\overline{QAR}\perp r$, dove $Q$ e $R$ siano punti su $\Gamma_{1}$ e $\Gamma_{2}$, rispettivamente.
Noi definiamo $\angle ERA=\alpha \rightarrow \angle (r, AE)=\alpha$. (1)
$C'=RC\cap (ACD)\rightarrow C'A$ e il diametro di $(ACD)$
$E'=RE\cap (ABE)\rightarrow E'A$ e il diametro di $(ABE)$
Allora
$\angle C'DA = \angle QDA = 90 \rightarrow C', D, Q$ sono allienati.
$\angle E'BA = \angle QBA = 90 \rightarrow E', B, Q$ sono allienati.
Allora $QRC'E'$ e un quadrilatero ciclico $\rightarrow \angle E'C'Q = \angle ERA= \angle E'C'D =\alpha$.
$\angle C'PA = \angle E'PA = 90 \rightarrow C', P, E'$ sono allienati.
Allora $\angle PC'D = \angle E'C'D =\angle PAD = \alpha = (1)$.

Mi scusi per la lingua, non sono italiano.