Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà
Inviato: 20 mag 2017, 20:58
da karlosson_sul_tetto
In un triangolo $ABC$ l'incerchio $\omega$ tange il lato $BC$ in $T$. Si sa che esiste un punto $P\in \omega$ tale che anche i punti medi dei segmenti $PB,PC$ appartengono a $\omega$. Dimostrare che $\angle BPT=\angle TPC$.
Re: Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà
Inviato: 21 mag 2017, 15:44
da Sirio
Eccomi!
Testo nascosto:
karlosson_sul_tetto ha scritto: ↑20 mag 2017, 20:58
i punti medi dei segmenti $PB,PC$
Chiamiamo rispettivamente $M$ ed $N$ questi due punti.
Osserviamo che la potenza di $B$ rispetto a $\omega$ è uguale a $BT^2=BM\cdot BP=\dfrac 1 2 BP^2$, da cui $BT=\dfrac{\sqrt 2} 2 BP$. Analogamente otteniamo $CT=\dfrac{\sqrt 2} 2 CP$.
Per il teorema dei seni, considerando il triangolo $BPT$, si ha $\dfrac{BT}{BP}=\dfrac{\sin{\angle{PTB}}}{\sin{\angle{BPT}}}$. Abbiamo appena dimostrato che il rapporto a primo membro vale $\dfrac{\sqrt 2} 2$, da cui otteniamo $\dfrac{\sqrt 2} 2=\dfrac{\sin{\angle{PTB}}}{\sin{\angle{BPT}}}$. Analogamente otteniamo $\dfrac{\sqrt 2} 2=\dfrac{\sin{\angle{CTP}}}{\sin{\angle{TPC}}}$.
Abbiamo quindi $\dfrac{\sin{\angle{PTB}}}{\sin{\angle{BPT}}}=\dfrac{\sin{\angle{CTP}}}{\sin{\angle{TPC}}}$ (1). Osserviamo che $\angle{PTB}+\angle{CTP}=\pi$, da cui otteniamo $\sin{\angle{PTB}}=\sin{\angle{CTP}}$. Dividendo i due membri della (1) per $\sin{\angle{PTB}}$ e passando ai reciproci si ottiene $\sin{\angle{BPT}}=\sin{\angle{TPC}}$, da cui segue la tesi oppure $\angle{BPT}+\angle{TPC}=\pi$, quindi per dimostrare la tesi ci basta dimostrare l'impossibilità di questa seconda condizione. Se per assurdo fosse vera, si avrebbe $P\in BC$, quindi anche $M,N\in BC$, quindi la circonferenza $\omega$ passerebbe per tre punti allineati (ovvero $M,N,P$), ma questa cosa non può darsi, quindi questa seconda condizione è impossibile, quindi la tesi è dimostrata.
Re: Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà
Inviato: 29 mag 2017, 17:10
da karlosson_sul_tetto
Giusta! (attenzione però al teorema dei seni, le frazioni sono invertite )
Comunque un modo più veloce di concludere è usare il teorema della bisettrice su $\triangle ABC$ e $\triangle BPT$
Re: Qualcuno ha lasciato un incerchio diviso soltanto a metà
Inviato: 29 mag 2017, 18:19
da Lasker
Sinceramente mi sembra più facile (magari sbaglio eh)
Testo nascosto:
Chiamati $M$ ed $N$ i punti medi di $PB$ e $PC$, si ha $\angle BPT\cong \angle MPT\cong \angle MTB\cong \angle TMN\cong \angle TPM\cong \angle TPC$, dove seconda e quarta sono vere perché $\omega$ è tangente a $BC$ per ipotesi , mentre la terza è vera perché $MN$ e $BC$ sono parallele per Talete.
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