Testo.
Testo nascosto:
Sia $ABCD$ un tetraedro, siano $A'$, $B'$, $C'$ e $D'$ gli incentri delle facce $BCD$, $CDA$, $DAB$ e $ABC$ rispettivamente. Si ha che le rette $AA'$, $BB'$, $CC'$ e $DD'$ hanno un punto in comune. Dimostrare che $AB\cdot CD=AC\cdot BD=AD\cdot BC$.
Testo nascosto:
$A=[1:0:0:0]$, $B=[0:1:0:0]$, $C=[0:0:1:0]$ e $D=[0:0:0:1]$. I lati del tetraedro li chiamo $x=AB$, $y=BC$, $z=CD$, $w=DA$, $u=AC$ e $v=BD$. Il nostro claim è $xz=yw=uv$.
$A'$, in qualità di incentro di $BCD$, ha coordinate $[0 : z : v : y]$. Analogamente, $B'=[z:0:w:u]$, $C'=[v:w:0:x]$ e $D'=[y:u: x :0]$. È come fare l'incentro in baricentriche 2D...
Adesso, parametrizzo la retta $AA'$ come $[\lambda: z : v : y]$ per un certo $\lambda$. Tecnicamente con $\lambda=\infty$ si ottiene il punto $A$, mentre con $\lambda=0$ si ottiene il punto $A'$. La retta $BB'$ invece è parametrizzata come $[z : \mu : w:u]$. Affinché queste due rette si intersechino, si deve avere che
\[\frac\lambda z=\frac z\mu=\frac vw=\frac yu,\]
ed in particolare $v/w=y/u$, che implica $uv=yw$. Facendo il ragionamento allo stesso modo su un'altra coppia di rette (ad esempio $AA'$ e $CC'$) si ottiene anche $xz=uv=yw$, che è la tesi.
$A'$, in qualità di incentro di $BCD$, ha coordinate $[0 : z : v : y]$. Analogamente, $B'=[z:0:w:u]$, $C'=[v:w:0:x]$ e $D'=[y:u: x :0]$. È come fare l'incentro in baricentriche 2D...
Adesso, parametrizzo la retta $AA'$ come $[\lambda: z : v : y]$ per un certo $\lambda$. Tecnicamente con $\lambda=\infty$ si ottiene il punto $A$, mentre con $\lambda=0$ si ottiene il punto $A'$. La retta $BB'$ invece è parametrizzata come $[z : \mu : w:u]$. Affinché queste due rette si intersechino, si deve avere che
\[\frac\lambda z=\frac z\mu=\frac vw=\frac yu,\]
ed in particolare $v/w=y/u$, che implica $uv=yw$. Facendo il ragionamento allo stesso modo su un'altra coppia di rette (ad esempio $AA'$ e $CC'$) si ottiene anche $xz=uv=yw$, che è la tesi.
Testo nascosto:
Le coordinate sono le stesse per ogni punto. Invece di parametrizzare una retta, consideriamo un qualsiasi piano, della forma
\[kp+lq+mr+ns=0\]
per qualche quaterna di reali $(k,l,m,n)$. Attenzione: $(k,l,m,n)$ sono i coefficienti del piano, mentre $[p:q:r:s]$ sono le coordinate di un punto in tale piano.
Imponiamo che questo piano passi per $A$, $A'$, $B$ e $B'$. Il passaggio per $A$ implica $k=0$, il passaggio per $B$ implica $l=0$. Quello per $A'$ è equivalente all'esistenza di due costanti $m$ ed $n$ tali che $mv+ny=0$, e il fatto che il medesimo piano passi anche per $B'$ implica che per le stesse costanti $m$ ed $n$ si ha anche $mw+nu=0$. Da cui, ovviamente, $uv=yw$, e poi facendo le cicliche si conclude.
\[kp+lq+mr+ns=0\]
per qualche quaterna di reali $(k,l,m,n)$. Attenzione: $(k,l,m,n)$ sono i coefficienti del piano, mentre $[p:q:r:s]$ sono le coordinate di un punto in tale piano.
Imponiamo che questo piano passi per $A$, $A'$, $B$ e $B'$. Il passaggio per $A$ implica $k=0$, il passaggio per $B$ implica $l=0$. Quello per $A'$ è equivalente all'esistenza di due costanti $m$ ed $n$ tali che $mv+ny=0$, e il fatto che il medesimo piano passi anche per $B'$ implica che per le stesse costanti $m$ ed $n$ si ha anche $mw+nu=0$. Da cui, ovviamente, $uv=yw$, e poi facendo le cicliche si conclude.