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Si lavora con gli incentri
Inviato: 25 lug 2017, 17:35
da Gerald Lambeau
Sia $ABC$ un triangolo e $D$ il punto di tangenza tra l'inscritta e il lato $BC$. Siano inoltre $J_b$ e $J_c$ gli incentri dei triangoli $ABD$ e $ACD$ rispettivamente. Dimostrare che il circocentro di $AJ_bJ_c$ sta sulla bisettrice di $\widehat{BAC}$.
Re: Si lavora con gli incentri
Inviato: 25 lug 2017, 23:04
da Linda_
Re: Si lavora con gli incentri
Inviato: 26 lug 2017, 00:01
da Gerald Lambeau
RMM 2015 - 4. Giusta!
La perpendicolarità di $AD$ con la retta $J_bJ_c$ si poteva fare anche senza quel Lemma, ma è ganzo come tu l'abbia usato sul caso degenere (io stavo per applicarlo al contrario, giungendo alla strabiliante conclusione che il triangolo $ABC$ ammette una circonferenza inscritta
).
Per chi vuole concludere in un altro modo, dette $X$ e $Y$ le altre intersezioni della circoscritta a $AJ_bJ_c$ con $AB$ e $AC$ rispettivamente, si dimostra che $AJ_b \perp J_cX, AJ_c \perp J_bY$ e quindi i punti $AJ_b \cap J_cX$ e $AJ_c \cap J_b Y$ stanno sulla circonferenza di diametro $J_bJ_c$, e da questo si trova facilmente che $AX=AY$ da qui ovviamente la tesi.