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Formulazione molto sintetica:
quali spazi metrici su un insieme di quattro punti si possono immergere in R^3?

Formulazione elementare
Abbiamo 4 punti "astratti" A,B,C,D e per ogni coppia X e Y di essi è dato un numero reale positivo d(X,Y)=d(Y,X), che chiamiamo la distanza astratta tra i due punti astratti. Quindi in tutto sono assegnati 6 numeri reali positivi, e ammettiamo di sapere che ogni terna di punti soddisfa l'analogo della disuguaglianza triangolare: quali altre condizioni devono essere soddisfatte affinché si possano scegliere 4 punti "concreti" A, B, C, D nello spazio euclideo tridimensionale, rispettando tutte le distanze?

Per ora lo lascio così, magari più in là aggiungo qualche altro commento. Da un lato non penso che sia un problema difficile e credo che con le tecniche olimpiche uno possa trovare una soluzione elementare, dall'altro non mi sono messo a fare i conti e quindi non posso garantire nulla!

Mi sfugge qualcosa o è sempre possibile (ammesso che valga la disuguaglianza triangolare)?

Magari! Considera i quattro vertici di un quadrato e prendi come distanza tra due vertici la lunghezza minima di un percorso che li collega: quindi due vertici consecutivi distano 1, mentre due estremi di una diagonale distano 2 (e non importa che esistono due percorsi di lunghezza 2 diversi). Questi quattro punti non li immergi nello spazio euclideo rispettando le distanze: infatti nello spazio se due punti X e Y distano 2 e Z dista 1 sia da X che da Y allora Z deve essere il punto medio del segmeno XY: solo che tu vuoi due punti medi distinti, e anzi a una distanza di 2 l'uno dall'altro.

Okay, però io vorrei $2<1+1$ per la disuguaglianza triangolare (altrimenti ho triangoli degeneri), che è falsa. O sbaglio?

Beh no, possono anche essere degeneri, se vogliamo... E comunque credo che tu non riesca nemmeno se al posto del $2$ nel caso di Anér tu metta $2-\varepsilon$ con $\varepsilon$ molto piccolo.
Comunque, il tempo di finire dei conti da pazzoide in analitica e arriva la mia soluzione

Okay, fai $2-\varepsilon $. Allora vuoi che $2-\varepsilon <1+1-\varepsilon $ che è la stessa cosa di prima

No, mi sono spiegato male...
Prendi i seguenti valori:
$d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1$
$d(A,C)=d(B,D)=2-\varepsilon$
Le disuguaglianze triangolari sono tutte rispettate, eppure non riesci a metterle nello spazio...