Lemma di Gauss: sia $ABCD$ un quadrilatero, $AB\cap CD=P$, $BC\cap DA=Q$. Siano $E$, $F$ e $G$ i punti medi dei lati $AC$, $BD$ e $PQ$ rispettivamente. Dimostrare che $E$, $F$ e $G$ sono allineati.
Di questo lemma piuttosto noto ho letto in giro la seguente dimostrazione (sotto spoiler per i deboli di cuore):
Testo nascosto:
Consideriamo i punti $X$ del piano tali che
\[[ABX]+[CDX]=[BCX]+[DAX],\]
dove $[RST]$ è l'area con segno del triangolo $RST$. Allora questo insieme è una retta oppure tutto il piano (e qui ho dei dubbi) ma se fosse tutto il piano allora inserendo le coordinate di $A$ e $B$ si avrebbe che $ABCD$ è un parallelogramma, assurdo perché $P$ e $Q$ non esisterebbero. Dunque questo insieme è una retta, e dato che $E$, $F$ e $G$ soddisfano, sono allineati.
Una dimostrazione del genere è legale? A me sembra un po' fumosa, secondo me va anche dimostrato che una cosa di quel genere sia proprio una retta. O sbaglio?
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
A me sembra funzionare, a patto di dimostrare che quel luogo è davvero una retta o un piano.
Un modo sensato, secondo me, è vedere che l'area rispetta le combinazioni affini: supponi di fissare i tuoi $A,B$ e poi prendere due punti a caso $X,Y$ nel piano; per ogni $\lambda\in\mathbb R$ definisci $Z=\lambda X+(1-\lambda)Y$.
Allora vale $[ABZ]=\lambda[ABX]+(1-\lambda)[ABY]$ (e qua fai tipo il conto con la formula della distanza punto-retta)
Questo ti dice che il tuo luogo è un sottospazio affine di $\mathbb R^2$; in parole povere: se hai due punti, hai tutta la retta; se poi ne hai un terzo fuori dalla retta, hai tutto il piano. Che è esattamente quello che serve
Osservazione a caso: probabilmente si riesce a sistemare il tutto nel proiettivo, includendo anche i parallelismi vari
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Parti con il dimostrare questo: l'area con segno di un triangolo $[ABX]$ è una funzione lineare affine delle coordinate $x, y$ di $X$ (cioè qualcosa del tipo $ax+by+c$, con $a,b,c$ reali fissati). Se $AB$ fosse sull'asse $x$, allora è ovvio, giusto?
(In realtà se questo è l'argomento allora manca da escludere un terzo caso, mi sembra: il luogo degli zeri di una funzione lineare affine in $x$ e $y$ o è una retta, o è tutto il piano, o è l'insieme vuoto.)
(EDIT: lineare -> lineare affine)
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Grazie! Quindi mi basta dimostrare quello ed è finito, ottimo
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo