OliForum Matematico

Siano dati quattro punti $A$, $B$, $C$ e $D$ nel piano, con $D$ interno al triangolo $ABC$. Siano dati $AD=\sqrt{p}$, $BD=\sqrt{q}$ e $CD=\sqrt{r}$. Calcolare il massimo valore dell'area di $ABC$. Che punto è $D$ nel triangolo che maggiorizza l'area?

Che punto è $D$ nel triangolo di area massima, dai. "Maggiorizza l'area" nun se po' sentì. Detti $\alpha,\beta,\gamma$ gli angoli secondi cui $D$ "vede" i lati di $ABC$, abbiamo da massimizzare $\sqrt{pq}\sin\gamma+\sqrt{pr}\sin\beta+\sqrt{qr}\sin\gamma$ sotto il vincolo $\alpha+\beta+\gamma=2\pi$. Invocando i moltiplicatori di Lagrange e la dovuta cautela otteniamo $\cos\alpha = \lambda\sqrt{p}$, $\cos\beta=\lambda\sqrt{q}$ e $\cos\gamma=\lambda\sqrt{r}$. Ora basta invocare il Teorema del coseno per capire qual è il valore effettivo di $\lambda$ e quali sono le coordinate trilineari di $D$ rispetto al triangolo $ABC$ di area massima (le coordinate tripolari sono palesi).

Spoiler: nel triangolo $ABC$ di area massima, $D$ è ortocentro.
Questo può essere dimostrato anche attraverso argomenti perturbativi: fissati $B,D,C$, qual è la migliore collocazione di $A$?