OliForum Matematico

Sia $ABC$ un triangolo, $E$ un suo punto interno e $D$ il suo coniugato isogonale (ovvero il punto tale che $\angle EAB=\angle DAC$; $\angle EBA=\angle DBC$; $\angle ECA=\angle DCB$). Siano $E_1;E_2;E_3$ le proiezioni di $E$ rispettivamente su $BC;AC;AB$ e sia $Q$ il punto medio di $DE$. Dimostrare che $Q$ è il circocentro di $E_1E_2E_3$.

Non sono riuscito a dimostrare la tesi, ma un fatto che forse può tornare utile sì, ovvero:

Faccio solo notare che il fatto che hai trovato è triangoli pedali for dummies

Siano $X,Y$ e $Z$ i simmetrici di $E$ rispetto a $BC$, $AC$ e $AB$.
Avremo $AY=AE=AZ$, inoltre dato che $AD\perp E_2E_3$ e $E_2E_3\parallel YZ$, si ha $AD\perp YZ\Rightarrow D$ appartiene all'asse di $YZ$.
Analogamente $D$ appartiene all'asse di $XY\Rightarrow D$ è il circocentro di $XYZ$. Con un'omotetia con centro $E$ e fattore $\frac{1}{2}$ otteniamo la tesi.

@Lasker Immaginavo fosse bbanale in effetti

@Pit Grazie mille!