OliForum Matematico

Sul mio libro di matematica c'è il seguente teorema (che definisce di "Legendre" anche se ho dei dubbi che esista). In ogni caso dice questo:
Sia [math]ABCD un quadrilatero ciclico, si dimostri che:
[math]AB \cdot BD \cdot AD + DB \cdot BC \cdot DC = AC \cdot BC \cdot AB + AC \cdot DC \cdot AD

Ho provato a metterlo in complesso sulla circonferenza unitaria ma non è uscito nulla di buono, poi ho provato con trigonometria (teorema della corda) e sono arrivato a questa uguaglianza abbastanza bella (ma che non so dimostrare ): siano [math] \alpha, \beta, \gamma, \delta angoli tali che [math] \alpha+ \beta+ \gamma+ \delta = \pi allora:

[math] sin(\alpha) \cdot sin(\beta) \cdot sin(\alpha + \beta) + sin(\gamma) \cdot sin(\delta) \cdot sin(\gamma+\delta) = sin(\alpha) \cdot sin(\gamma) \cdot sin(\alpha + \gamma) + sin(\beta) \cdot sin(\delta) \cdot sin(\beta + \delta)

Il problema ricorda molto Tolomeo ma non sono riuscito a trovare collegamenti. Ringrazio in anticipo tutte le soluzioni che arriveranno

Ti stai complicando la vita, è più semplice di così!

Ah cavolo, che stupido...mi sono illuso che si potesse fare in trigonometria dato che il mio libro mi suggeriva di usare Carnot per trovarmi la diagonale. Allora si conclude facilmente così:

Scusa mi potresti dire che libro hai? Grazie mille