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Consideriamo un poligono regolare di $n \ge 3$ lati e chiamiamo i sui vertici $V_1, V_2, \dots , V_n$.
Per ogni punto $P$ del piano, definiamo $f(P) = \prod\limits_{i=1}^{n} |P-V_i|$
cioè il prodotto di tutte le distanze dal punto ai vertici del poligono.
Trovare tutti i punti $P$ interni (compreso il bordo) al poligono che massimizzano $f(P)$.

Io farei AM-GM

Si potrebbe avere un hint? Ho capito quali sono i punti che massimizzano $f(P)$, ma sono ben lontano da una dimostrazione, anche se una possibile via mi è venuta in mente.
Metto tutto nascosto per lasciare la possibilità di non leggere:

Il claim è giusto e la via che hai proposto porta a buoni risultati.
Forse questo problema sembra richiedere l'utilizzo dell'analisi (che infatti aiuta) e non molto quello della "geometria", per questo non mi era sembrato molto adatto, ma è possibile evitarla (quasi) del tutto grazie ad alcune interpretazioni geometriche.
Metto qui sotto alcuni Hint, riguardanti la mia soluzione (il problema è own, quindi non conosco altre vie).

Beh, una volta compreso che il massimo è realizzato sul bordo bastano poche considerazioni di simmetria/convessità per concludere. E il massimo è realizzato sul bordo poiché il logaritmo della distanza da un punto fissato è una funzione armonica ;D