OliForum Matematico

Buongiorno a tutti.
Mi stavo esercitando con i vettori e stavo calcolando, in funzione dei lati [math]a, b, c di un triangolo, la distanza [math]OH.
Sono giunto ad un risultato piuttosto bello, ma verificando con Geogebra non mi torna tutto, dove sto sbagliando?
Supponiamo di fissare l'origine in [math]O. Allora [math]H=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}
[math]OH^2=|\vec{OH}|^2=|\vec{H}|\cdot|\vec{H}|=|\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}|\cdot|\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}|=\displaystyle \sum_{cyc} \vec{A}\cdot\vec{A}+2\sum_{cyc}\vec{A}\cdot \vec{B}
Poiché [math]O è stata fissata come origine, allora la prima somma diventa ovviamente [math]3R^2.
La seconda diventa [math]R^2cos(2A)+R^2cos(2B)+R^2cos(2C)
Dunque [math]OH^2=3R^2+2[R^2cos(2A)+R^2cos(2B)+R^2cos(2C)]=3R^2+2R^2[3-sin^2(A)-sin^2(B)-sin^2(C)]=\\
9R^2-2[R^2sin^2(A)+R^2sin^2(B)+R^2sin^2(C)
Per il teorema del seno [math]\frac{a}{sin(A)}=2R il che implica [math]4R^2sin^2(A)=a^2
Pertanto [math]OH^2=9R^2-\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2).
Supponiamo ora di avere un triangolo equilatero di lato [math]1. Allora [math]R=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Dunque [math]OH^2=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} \neq 0.\\
Dove sto sbagliando?

Non ho guardato tutti i conti, ma hai un modo facile di scoprire cosa non va: ripercorri tutti i passaggi all'indietro sostituendo le quantità che corrispondono al caso del triangolo equilatero, e vedi qual è l'uguaglianza che non vale!

Credo che l'errore sia quando sostituisci [math]cos(2A) con [math]1-sin^2(A) anziché [math]1-2sin^2(A), da lì la formula diventa [math]OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2) che dovrebbe funzionare.

Sì, l'errore era proprio quello.
Comunque grazie a entrambi!

Senza andare ad utilizzare formule di bisezione strane io quando periodicamente mi dimentico quanto fa $\vec{A} \cdot \vec{B}$ mi scrivo $c^2=(\vec{A}-\vec{B}) \cdot (\vec{A}-\vec{B})=\vec{A} \cdot \vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{B} -2 (\vec{A} \cdot \vec{B})$ da cui $\vec{A} \cdot \vec{B}=R^2-\dfrac{1}{2} c^2$. Spero di essere stato utile e di aver diminuito la quantità di trigonometria in questo mondo.