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Non so se qualcuno l'ha già postato comunque:

se $ \frac{r}{s} $ è una frazione irriducibile non nulla, cioè se $ r,s \in N $ non nulli e tali che siano primi fra loro, sia $ \mathcal{C}(\frac{r}{s}) $
il cerchio nel piano di equazione $ ( x - \frac{r}{s})^2 + (y - \frac{1}{2s^2})^2 \leq ( \frac{1}{2s^2})^2 $
Si dimostri che se $ \frac{r}{s}\neq\frac{p}{q} $ allora i due cerchi $ \mathcal{C}(\frac{r}{s}) $ e $ \mathcal{C}(\frac{p}{q}) $ sono disgiunti, tranne quando le due frazioni sono tali che $ |ps-rq| = 1 $, nel qual caso i cerchi sono tra loro tangenti. Si dimostri inoltre che in questo caso il punto di tangenza ha entrambe le coordinate razionali.

MI scuso di nuovo se qualcuno l'ha già postato

Non conoscevo questo problema, ma è troppo facile! Ti mando la soluzione privatamente; forse, sapendo che è facile, qualcun altro sarà invogliato a cercarla.

Ricaviamo le coordinate dei centri:
$ O_1(\frac{r}{s};\frac{1}{2s^2}) $
$ O_2(\frac{p}{q};\frac{1}{2q^2}) $
ed i raggi:
$ R_1 = \frac{1}{2s^2} $
$ R_2 = \frac{1}{2q^2} $
La condizione per cui i cerchi si intersechino e' che la distanza tra i centri non superi la somma dei raggi. Quindi:
$ (\frac{r}{s} - \frac{p}{q})^2 + (\frac{1}{2s^2} - \frac{1}{2q^2})^2 \leq (\frac{1}{2s^2} + \frac{1}{2q^2})^2 $
Con qualche passaggio si giunge a:
$ (rq-sp)^2 \leq 1 $ ovvero
$ |rq - sp| \leq 1 $.
La quantita' al primo membro e' intera e quindi, perche' sia vera la disuguaglianza si deve verificare una della due seguenti uguaglianze:
i) $ |rq - sp| = 0 $
ii) $ |rq - sp| = 1 $.
La i) non puo' verificarsi perche' le frazioni sono diverse per ipotesi, quindi e' vera la ii), come dovevamo dimostrare.

In quel caso la distanza tra i centri e' uguale alla somma dei raggi, quindi i cerchi sono tangenti.

Per dimostrare che il punto di tangenza ha coordinate razionali possiamo anche ragionare sinteticamente: detto $ P $ tale punto, allora tracciamo da $ C_1 $ e da $ P $ la parallela all'asse Y e da $ C_2 $ quella all'asse X.
Si formano cosi' due triangoli rettangoli simili con in comune l'angolo in $ C_2 $. Quindi vale la proporzione:
$ \frac{PC_2}{C_1C_2} = \frac{R_2}{R_1+R_2}= \frac{X_{C_2} - X_P}{X_{C_1} - X_{C_2}} $, dove $ X_Q $ indica l'ascissa del punto $ Q $.
Ricavando $ X_P $ si osserva che e' razionale, perche' risultato di prodotti/quozienti/somme tra razionali.
Analogamente si procede per l'ordinata di $ P $.

La prima parte è giusta, si la seconda è abbastanza banale

snagg ha scritto:La prima parte è giusta, si la seconda è abbastanza banale

Ho concluso (erano secoli che non postavo qualche soluzione! )

Loth