OliForum Matematico

Dato un triangolo con i lati di lunghezza $ \displaystyle a, b, c, $ e le rispettive mediane di lunghezza $ \displaystyle x, y, z, $ si dimostri la seguente doppia disuguaglianza:

$ \displaystyle 2(x^2+y^2+z^2) \leq 3(ab+bc+ca) \leq 4(x^2+y^2+z^2) $

Infine si discuta, separatamente per le due disuguaglianze, se e in quali casi possa valere l'uguaglianza.

Bye,
#Poliwhirl#

Stewart -> espressioni delle mediane in funzione dei lati, poi è facile.

Ciao!

anche se è chiaro a tutti posto per sport:

sappiamo $ \dispalstyle x = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2} $ e simmetriche.

quadrando e sommandole tutte e tre

$ \dispalystyle x^2 + y^2 + z^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2) $ (1)

Sostituendo la (1) nella seconda disuguaglianza

$ ab + bc + ac \leq a^2 + b^2 + c^2 $ vera $ \forall a,b,c \in \mathbb{R}^+ $ per MacLaurin.

Sostituendo (1) nella prima disuguaglianza viene

$ a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(ab + bc + ac) $ (2)

la quale NON è assolutamente vera $ \forall a,b,c \in \mathbb{R}^+ $ ma a noi basta che lo sia per i lati di un triangolo:

$ a = A - B $, $ b = B - C $, $ c = C - A $ ($ A,B,C \in \mathbb{R}^+ $)

e facendo un paio di conti la (2) viene sempre verificata.

Bacco ha scritto:Sostituendo (1) nella prima disuguaglianza viene

a2+b2+c2≤2(ab+bc+ac) (2)

la quale NON è assolutamente vera ∀a,b,c∈R+ ma a noi basta che lo sia per i lati di un triangolo:

a=A−B, b=B−C, c=C−A (A,B,C∈R+)

e facendo un paio di conti la (2) viene sempre verificata.

Scusa la pignoleria ...
Ma la sostituzione per i lati di un triangolo non è solo quella qui sotto?

a = A + B, b=B + C e C = C + A