OliForum Matematico

Problema SNS! (1936)
"Di un triangolo rettangolo è nota la somma s dei cateti e l altezza h relativa all' ipotenusa.Determina i cateti.Discussione."

Ho cominciato con l'impostare un sistema di due equazioni in due incognite
1_ x+y=s
2_Ho trovato l'ipotenusa in funzione di x e y,diviso il doppio dell'area del triangolo per l ipotenusa e eguagliato all' altezza relativa all' ipotenusa che è nota; sono sicuro che non escono identità

ma non riesco ad andare avanti col sistema! credo sia simmetrico ma nn so come si risolvono tali sistemi! Chi mi aiuta?

PS: ma voi i sistemi simmetrici quando è che li avete studiati??

Grazie e ciao

Se chiami x e y i cateti e c l'ipotenusa hai le condizioni $ x+y=s $, $ x^2+y^2=c^2 $ e come dicevi tu $ xy=ch $. In teoria - anche se è subito ricavabile - non conosci nemmeno c, però potresti usare l'identità
$ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy $
con cui sostituendo x+y con s, x^2+y^2 con c^2 e xy con ch ottieni $ s^2=c^2+2ch $, dove l'unica cosa che non conosci è c. Risolvi e ributti dentro i valori trovati - o il valore, discutendo - di c per trovare x e y, e se hai ancora problemi nella risoluzione o vai avanti di sostituzione isolando un'incognita di primo grado o se no utilizzi di nuovo l'identità di prima.

il problema è che mi sono impuntato sull' ipotenusa intesa come radice quadrata di x alla seconda e y alla seconda perchè nn volevo introdurre un' altra incognita...
cmq grazie mille della risposta! adesso provo a vedere cosa salta fuori con il tuo suggerimento...

altrimenti si può fare anche così:

$ a^2 + b^2 + 2ab = s^2 \Longleftrightarrow c^2 + 2ch = s^2 $$ \Longleftrightarrow c^2 + 2ch + h^2= s^2 + h^2 $$ \Longleftrightarrow (c + h)^2 = s^2 + h^2 \Longleftrightarrow c = \sqrt{s^2 + h^2} - h $

vi allego questo file della situazione in cui sono perchè non ho ancora imparato a usare il latex...

cmq grazie gabriel della risposta ...quello che hai fatto tu compare nella soluzione quindi è sicuramente la strada giusta ma è una parte...il problema chiede di esplicitare i cateti in funzione di quello che si ha (somma cateti, altezza) e di quello che si può trovare con i dati che abbiamo (ipotenusa in funzione di x,y)
(so che nn si dovrebbe guardare la soluzione fin quando nOn si è sicuri di avere finito il problema ma dato che ci sono su da cosi' tanto tempo...una sbirciatina è lecita spero!! )

$ \left\{ \begin{array}{l} x+y=s \\ x * y = c h\\ \end{array} $
il sistema è questo dove s è la somma c è l'ipotenusa e h l'altezza relativa all'ipotenusa, ora come detto in precedenza possiamo scrivere che $ \ s^2=x^2+y^2+2xy= c^2 + 2 ch $ da cui $ \ (c+h)^2=s^2+h^2 $, quindi $ \ c=\sqrt{\(s^2+h^2} - h $ quindi il sistema diventa
$ \left\{ \begin{array}{l} x+y= s \\ xy= [\sqrt{(s^2+h^2)}-h]h\\ \end {array} $
da cui ricaviamo l'equazione di secondo grado $ \ a^2-sa+[\sqrt{(s^2+h^2)}-h]h=0 $ che da per soluzioni:
$ \ x=[s+\sqrt{(s^2-4\sqrt{(s^2+h^2)}h+4h^2)}]/2 $
$ \ y=[s-\sqrt{(s^2--4\sqrt{(s^2+h^2)}h+4h^2)}]/2 $.
credo sia giusta così ma se fosse sbagliata sarebbe comprensibile visto che è la mia prima soluzione.
saluti bruno