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Sia T un triangolo avente lati di lunghezza $ \ a,b,c $ e siano $ \ h_a,h_b,h_c $ le altezze rispettive. Indicata con A l'area del triangolo, si mostri che se vale l'equazione
$ \ 6A=(a h_b)+(b h_c)+ (c h_a) $
allora T è un triangolo equilatero.


Io l'ho risolto così:

supponiamo senza perdere generalità che $ \ a\geq b\geq c > 0 $

per il teorema di carnot (o del coseno) $ \ a^2=b^2 + c^2 - 2 bc cos\alpha $ e cicliche quindi $ cos\alpha=(b^2+c^2-a^2)/2bc $ $ \ cos\beta= ( a^2+c^2-b^2)/2ac $ $ cos\gamma=(a^2+b^2-c^2)/2ab $ e
$ sin\alpha=({\sqrt\ 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-c^4-b^4-a^4} /2bc $ , $ sin\beta=({\sqrt\ 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-c^4-b^4-a^4}/2ac $ , $ sin\gamma=({\sqrt\ 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-c^4-b^4-a^4} /2ab $ (2)
come si puo notare i numeratori delle frazioni che esprimono i seni sono tutti uguali e li chiamiamo B.
ora l'area del triangolo è uguale al semi-prodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso quindi $ \ 2A=ac sin\beta = bc sin\alpha = ab sin\gamma $
e $ 6A= ac sin\beta + bc sin\alpha + ab sin\gamma $ ora vogliamo dimostrare che $ ac sin\beta + bc sin\alpha + ab sin\gamma \leq a h_b+b h_c+c h_a $ innansitutto $ \ h_a= b sin\gamma $ $ \ h_b= c sin\alpha $ $ \ h_c= a sin\beta $ quindi $ ac(sin\alpha - sin\beta) + ab(sin\beta - sin\gamma) +cb (sin\gamma - sin\alpha) \geq 0 $ sostituendo ai seni le formule della 2 e semplificando i B (sempre positivi) si ottiene
$ \ ac({\frac{1}{bc}}-{\frac{1}{ac})+ab({\frac{1}{ac}}-{\frac{1}{ab})+cb({\frac{1}{ab}}-{\frac{1}{bc})\geq 0 $ quindi $ \ a^2c^2- abc^2+a^2b^2-a^2bc+c^2-ab^2c \geq 0 $ a questo punto poniamo $ a= c + k, b=c+h, c=c ,con ,k\geq h \geq 0 $
svolgendo i calcoli si ottiene $ c^2k^2+ck^2h+h^2c^2+k^2h^2 \geq 0 $ che è sempre verificato e l'uguaglianza si ha per h=k=0 quindi per a=b=c, ciò dimostra che se vale l'uguaglianza il triangolo T è equilatero
Questa è la mia soluzione .... fatemi sapere se secondo voi va bene..un saluto
Bruno

Mmh... credo ci sia una soluzione più semplice

$ ah_a+bh_b+ch_c=ah_b+bh_c+ch_a $

chiaramente si tratta di riarrangiamento, del quale il LHS rappresenta il minimo possibile (se a è il più grande dei lati h_a è la più piccola delle altezze...), di conseguenza se vale l'uguale dev'essere $ ~a=b=c $ e $ h_a=h_b=h_c $

giusto perchè oggi mi piace risolvere algebricamente i geometrici

...forse due allora.

$ ah_{b} + bh_{c} + ch_{a} = 2A\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) \geq 6A $

beh si, ma se guardi bene è la stessa soluzione: il fatto che la roba tra parentesi sia maggiore o uguale a tre segue direttamente dal riarrangiamento

piu semplicemente segue da AM-GM

Scusa jordan la tua cosa significa?

Comunque va bene cosi?

Per qualsiasi triangolo vale $ \frac{ah_a}{2} + \frac{bh_b}{2} + \frac{ch_c}{2} = 3A $ e quindi $ {ah_a} + bh_b + ch_c = 6A $ ma solo per il triangolo equilatero vale $ h_a=h_b=h_c $ e quindi la tesi?

mrossi ha scritto:Scusa jordan la tua cosa significa?

Comunque va bene cosi?

Per qualsiasi triangolo vale $ \frac{ah_a}{2} + \frac{bh_b}{2} + \frac{ch_c}{2} = 3A $ e quindi $ {ah_a} + bh_b + ch_c = 6A $ ma solo per il triangolo equilatero vale $ h_a=h_b=h_c $ e quindi la tesi?

cosi hai dimostrato che se il triangolo è equilatero allora vale l'equazione,ma non il viceversa. Quella di cui parla jordan è la disuguaglianza media aritmetica-media geometrica ed è la disuguaglianza di base più importante. Ti consiglio di guardartela, la trovi spiegata molto bene nei video di gobbino (come tutto del resto)

Ah ok la disuguaglianza la conosco, non avevo associato le sigle.

Comunque non dovrei aver dimostrato anche il viceversa? Se per tutti i triangoli vale $ {ah_a} + bh_b + ch_c = 6A $ ma solo per il triangolo equilatero vale $ h_a=h_b=h_c $, l'equazione della domanda si riferisce per forza a un triangolo equilatero in quanto solo in quel caso posso sostituire $ h_a $ con $ h_b $ eccetera

si ma chi ti dice che non esiste un altro tipo di triangolo in cui $ ah_b+bh_c+ch_a=6A $? Se riesci a dimostrare che $ ah_b=bh_c=ch_a=2A $ (cosa che appunto segue da AM-GM) allora puoi dirlo, altrimenti no.