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Siano $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $ due circonferenze. Sia $ \displaystyle A $ un punto di $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle B $ un punto di $ \displaystyle \beta $. $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $ sono l'una esterna all'altra.
Descrivere il luogo dei punti medi dei segmenti $ \displaystyle AB $ al variare di $ \displaystyle A $ e $ \displaystyle B $.


È facile, astenersi esperti (soprattutto Gabriel, che posterebbe la soluzione prima di domattina ).

viva le omotetie ihiihihih

wlog $ a \le b $, corona circolare (o cerchio pieno sse a=b) con $ r= \frac {b-a}{2} $ e $ R =\frac {a+b}{2} $ e centro nel punto medio dei due centri

nn vorrei sbagliare ma c'era un problema quasi identico su uno deitest di ammissione a sant'anna o sns di molto molto tempo fa

Sì, è così. Non so se era stato dato a qualche test di ammissione, spero di no perchè vorrebbe dire che quelli del Kangourou riciclano problemi facilmente reperibili

(L'ho preso dal Kangourou)

Un modo per vedere e arrivare alla soluzione.

I problemi complicati si affrontano risolvendo un problema piu semplice. Fissiamo [math]B e guardiamo il luogo dei punti medi al variare di [math]A.

Un modo per vedere il punto medio di [math]AB e di pensarlo come il punto dove va [math]A se riscali tutto di un fattore [math]2 con centro in [math]B. Il punto [math]A si muove lungo una circonferenza, quindi una volta riscalato si muovera lungo una circonferenza. Quindi il punto medio di [math]AB con [math]B fissato e [math]A variabile si muove lungo una circonferenza. E questa circonferenza ha raggio meta di [math]\alpha (tutto e' riscalato di [math]2). Notiamo che il raggio di questa circonferenza (chiamiamola [math]\gamma) non dipende da dov'e' posizionato il punto [math]B.
A questo punto vediamo cosa fanno le circofnerenze [math]\gamma al variare di [math]B. La circonferenza e' determinata dal suo centro e dal suo raggio. Il raggio abbiamo detto e' sempre costante, mentre il centro varia. Lavorando sempre con l'idea di aver riscalato tutto notiamo che [math]\gamma e' [math]\alpha riscalata, quindi il centro di [math]\gamma sara nel punto medio tra [math]B e il centro di [math]\alpha. Il centro di [math] \alpha e' fisso mentre [math]B si muove sulla circofnerenza [math]\beta. Abbiamo visto sopra che il luogo dei punti in tal caso e' una circonferenza con il centro il punto medio tra il centro di [math]\alpha e il centro di [math]\beta.

Quindi il uogo dei punti del centro di [math]AB e' dato da una circonfereza il cui centro si muove lungo un altra circonferenza, fromando quindi una corona. Per i dettagli i conti li ha fatti Jordan qui sopra oramai 13 anni or sono.