106. Somme di 3 quadrati

[exodd]

Supponiamo che A sia l'insieme di tutti gli interi positivi scrivibili nella forma $ a^2+2b^2 $, con $ a $ e $ b $ interi, e $ b $ diverso da zero
Dimostrare che se $ p^2 $ appartiene ad A, con $ p $ primo, allora $ p $ appartiene ad A

[exodd]

Mi sono appena accorto che è molto molto facile..

[Karl Zsigmondy]

Se $ a^2 + 2b^2 = p^2 $ ho innanzitutto che (a,p)=(b,p)=1, inoltre la relazione iniziale implica che $ 2b^2 = p^2 - a^2 = (p+a)(p-a) $.
Ma (p+a, p-a) = (2p, p-a) = (2p, 2a) = 2(p, a) = 2 e quindi uno fra (p-a) e (p+a) è della forma $ 2x^2 $ e l'altro è della forma $ 2^{2k} \cdot y^2 $ con x e y dispari. Quindi $ 2p = (p+a) + (p-a) = 2x^2 + 2^{2k} \cdot y^2 $ da cui $ p = x^2 + 2 \cdot (2^{k-1} \cdot y)^2 $ da cui la tesi.

[exodd]

Good.. Vai pure..
la prossima volta, prima di mettere un esercizio di mathlinks, mi assicurerò che non sia troppo banale...

[ant.py]

Se $ a^2 + 2b^2 = p^2 $ ho innanzitutto che (a,p)=(b,p)=1, inoltre la relazione iniziale implica che $ 2b^2 = p^2 - a^2 = (p+a)(p-a) $.
Ma (p+a, p-a) = (2p, p-a) = (2p, 2a) = 2(p, a) = 2 e quindi uno fra (p-a) e (p+a) è della forma $ 2x^2 $ e l'altro è della forma $ 2^{2k} \cdot y^2 $ con x e y dispari. Quindi $ 2p = (p+a) + (p-a) = 2x^2 + 2^{2k} \cdot y^2 $ da cui $ p = x^2 + 2 \cdot (2^{k-1} \cdot y)^2 $ da cui la tesi.

scusami, ma potresti spiegarmi il tuo ragionamento un po' più in dettaglio? In particolare non capisco cosa intendi quando scrivi

(a, p) = (b, p) = 1 o (p+a, p-a) = (2p, p-a) ecc.

O se magari hai dei link esterni

grazie

[Drago96]

scusami, ma potresti spiegarmi il tuo ragionamento un po' più in dettaglio? In particolare non capisco cosa intendi quando scrivi

(a, p) = (b, p) = 1 o (p+a, p-a) = (2p, p-a) ecc.

Con $(a, b)=x$ si intende che $x$ è il Massimo Comune divisore tra $a$ e $b$ (forma ridotta di $gcd(a,b)$ o $MCD(a,b)$ )

Comunque anche a me interesserebbe capire come hai fatto questo passaggio...

(p+a, p-a) = (2p, p-a) = (2p, 2a) = 2(p, a) = 2

[Karl Zsigmondy]

Premessa la definizione di MCD si ha che (a, b) = (a, ka+jb) con k, j interi. Inoltre è ovvio che (ka, kb) = k(a,b) con k intero positivo. Quindi ho che:
$ (p+a, p-a) = (1(p+a)+1(p-a), p-a) = (2p, p-a) = (2p, (-2)(p-a)+1(2p)) = (2p, 2a) = 2(p,a) = 2 \cdot 1 = 2 $.
Poi ho che (p-a) e (p+a) sono di quella determinata forma perché hanno in comune un solo fattore 2 e il loro prodotto è il doppio di un quadrato, quindi considero prima la distribuzione dei fattori 2 (a parte) e poi gli altri fattori formeranno dei quadrati.
Spero sia tutto più chiaro, in tal caso procederò con il prossimo problema.

[ant.py]

Premessa la definizione di MCD si ha che (a, b) = (a, ka+jb) con k, j interi. Inoltre è ovvio che (ka, kb) = k(a,b) con k intero positivo. Quindi ho che:
$ (p+a, p-a) = (1(p+a)+1(p-a), p-a) = (2p, p-a) = (2p, (-2)(p-a)+1(2p)) = (2p, 2a) = 2(p,a) = 2 \cdot 1 = 2 $.

fin qui ci sono

Poi ho che (p-a) e (p+a) sono di quella determinata forma perché hanno in comune un solo fattore 2 e il loro prodotto è il doppio di un quadrato, quindi considero prima la distribuzione dei fattori 2 (a parte) e poi gli altri fattori formeranno dei quadrati.

ecco ora ti ho perso.. vedo se riesco a capirci qualcosa dopo

Spero sia tutto più chiaro, in tal caso procederò con il prossimo problema.

vai pure, non aspettare me