Un problema per i novizi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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TeoricodeiNumeri
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Un problema per i novizi

Messaggio da TeoricodeiNumeri » 18 mag 2020, 20:10

Alberto fa un gioco: prende un numero naturale $n$ scritto in base 10 e somma le sue cifre. Poi somma le cifre del nuovo numero e ripete l'operazione all'infinito.

Ad esempio se $n=9999$ Alberto avrà, in quest'ordine:
$9999$
$9+9+9+9=36$
$3+6=9$
$9$
$9$
$9$
...

Ad un certo punto rimane sbigottito, perché uno stesso numero si ripete all'infinito (nell'esempio a ripetersi è il $9$). Sarà un caso? Supponendo che questa cosa si verifichi per ogni numero naturale $n$, esiste una caratterizzazione non banale dell'intero che si ripete all'infinito? È possibile generalizzare questo risultato al caso in cui ogni intero sia scritto in base $b\geq 2$ con $b$ intero?

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