OliForum Matematico

Dimostare che è impossibile scrivere 41 come
$ \displaystyle $ 41=3^{n}-2^{m} $
con n,m appartenenti a N-{0} (numeri interi positivi)

$ 3^n-2^m = 41 $ (1)

Analizziamo mod 3

$ -(-1^m) \equiv -1 \pmod 3 \Rightarrow $ m è pari, dunque la (1) diventa

$ 3^n-2^{2m'}=41 $ (2)

Analizziamo mod 4

$ (-1^n) \equiv 1 \pmod 4 \Rightarrow $ n è pari, dunque la (2) diventa

$ 3^{2n'}-2^{2m'}=41 $ (3)

Ma questa è una differenza di quadrati, quindi la (3) la riscriviamo come

$ (3^{n'} + 2^{m'})(3^{n'} - 2^{m'})=41 $ (4)

Ma 41 è primo, quindi necessariamente $ 3^{n'} + 2^{m'} = 41 $ e $ 3^{n'} - 2^{m'} = 1 $ (poichè $ 3^{n'} + 2^{m'} > 3^{n'} - 2^{m'} $)
Ma la somma dei due fattori, che è $ 2 \cdot 3^{n'} $, deve allora essere uguale a 41+1 =42.

$ 2 \cdot 3^{n'} = 42 \Rightarrow 3^{n'} = 21 $, assurdo poichè non esiste nessuna potenza di 3 uguale a 21. []

Abbiamo che $ 2^m\equiv 1\pmod 3 $ perchè $ 41\equiv2 \pmod 3 $ quindi $ m $ pari. Sia $ m=2m_1 $
Allo stesso modo abbiamo che $ 3^n\equiv1 \pmod 4 $ quindi anche $ n $ pari. Sia $ n=2n_1 $
Per differenza di quadrati l'equazione diventa $ (3^{n_1}-2^{m_1})(3^{n_1}+2^{m_1})=41 $
L'equazione è verificata se e solo se il primo fattore è uguale a 1 e il secondo è uguale a 41.
Vediamo con 2 conti a mano che il secondo fattore vale 41 solo per $ n_1=2 $ e $ m_1=5 $ che sostituiti non verificano. Quindi non verifica nessuna coppia.

Edit: devo diventare più veloce ad usare il LaTeX

Per la cronaca, questo è un SNS già comparso in almeno due occasioni!...

Non lo sapevo...

ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...

bè vuol dire che era giusta...
bè dato che ci siamo...piccola variazione

$ \displaystyle 41=2^{n}-3^{m} $
dimostrare la stessa cosa...

angus89 ha scritto:Non lo sapevo...

ammazza...
Sesshoumaru ha fatto la mia dimostrazione spiaccicata...
uguale...

bè vuol dire che era giusta...

[edit, cavolata]

Modulo 8, superati i casi banali, abbiamo 1=0-1 o 1=0-3, ovviamente impossibile.

julio14 ha scritto:Modulo 8, superati i casi banali, abbiamo 1=0-1 o 1=0-3, ovviamente impossibile.

Right!