OliForum Matematico

Trovare il massimo numero intero positivo che divide tutti i numeri della forma
$ \displaystyle $ n^{7}+n^{6}-n^{5}-n^{4} $

Non sforzatevi troppo perchè la soluzione è davvero semplice, è il classico esercizio proposto nelle videolezioni del Training Olimpico di Massimo Gobbino

Visto che son sicuro che qualcuno lo specificherà...si è un sns, precisamente '83/'84

ci provo

$ \displaystyle $ n^{7}+n^{6}-n^{5}-n^{4} $

Scompongo e ottengo
$ $n^4(n^3+n^2-n-1) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $

faccio i casi piccoli, sostituendo l'n, per vedere cosa succede:
n=0 banalmente è uguale a 0
n=1 $ $1 \cdot 2 \cdot 0 \cdot (-2)=0 $
n=2 $ $16 \cdot 3 \cdot(-1)\cdot(-3)=2^4\cdot3^2 $
n=3 $ $3^4\cdot2^2\cdot2\cdot2^2=3^4\cdot2^5 $
n=4 $ $2^8\cdot5\cdot(-3)\cdot(-5)=2^8\cdot3\cdot5^2 $

sembra che siano tutti divisibili per $ 2^4\cdot3 $ vediamo cosa succede in modulo 3

$ $n \equiv 0 (3) $
banalmente $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è divisibile per 9 e anche per 3

$ $n \equiv 1 (3) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1\cdot2\cdot0\cdot(-2) \equiv 0(3) $
è divisibile solo per 3

$ $n \equiv -1 (3) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1 \cdot 2 \cdot 0 \cdot (-2) \equiv 0 (3) $
e quindi per qualsiasi n $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è sempre divisibile per 3

adesso in modulo 4

$ $n \equiv 0 (4) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è sempre divisibile per 16

$ $n \equiv 1 (4) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1 \cdot 2 \cdot 0 \cdot (-2) \equiv 0 (4) $
notiamo che oltre allo 0 i due 2 moltiplicati fra di loro danno un altro multiplo di 4 e quindi anche in questo caso è divisibile per 16

$ $n \equiv 2 (4) $
anche in questo caso $ $n^4 $ è già un multiplo di 16 perchè n è pari

$ $n \equiv -1 (4) $
$ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) \equiv 1 \cdot 0 \cdot 2 \cdot (-2) \equiv 0 (4) $
per il motivo spiegato al $ n \equiv 1 (4) $ anche in questo caso $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $ è divisibile per 16

e quindi $ $2^4\cdot3 $ divide tutti i numeri della forma $ $n^4(1+n)(1-n)(-n-1) $

Giusto...
Io invece mi son scomposto tutto con ruffini (come hai fatto tu)
E da lì mi son calcolato per n=2, cioè 144
A quel punto ho scomposto 144 e ho trovato i fattori che dividono tutti i numeri in quella forma con osservazioni veloci...