Direttamente dal belgio...
Direttamente dal belgio...
Let a; b; c; d be integers. Show that the product
$ (a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) $
is divisible by 12.
spero che nessuno abbia problemi con la traduzione
$ (a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) $
is divisible by 12.
spero che nessuno abbia problemi con la traduzione
Il testo originale dice $ (a-b)(a-c)... $ (problema A11 del PEN)gabri ha scritto:infatti!
io ho fatto un copia-incolla da un problema del PEN...
e pensare che dopo averlo postato ho passato almeno un quarto d'ora a tentare di dimostrarlo prima di capire che qualcosa non andava.
pare che questo problema fosse apparso in Slovenia 1996!
Per pigeonhole almeno 2 numeri hanno lo stesso resto $ \pmod 3 $ quindi almeno 1 dei fattori (le differenze ) è multipla di 3.
Inoltre se abbiamo due numeri della stessa parità e due dell'altra abbiamo 2 fattori pari (quindi il prodotto multiplo di 4)
Se abbiamo tre numeri della stessa parità abbiamo 3 fattori pari.
Altrimenti abbiamo tutti i numeri della stessa parità quindi tutti i fattori sono pari.
Il prodotto è sempre multiplo di 12[/tex]
Edit: correzione prima frase
Inoltre se abbiamo due numeri della stessa parità e due dell'altra abbiamo 2 fattori pari (quindi il prodotto multiplo di 4)
Se abbiamo tre numeri della stessa parità abbiamo 3 fattori pari.
Altrimenti abbiamo tutti i numeri della stessa parità quindi tutti i fattori sono pari.
Il prodotto è sempre multiplo di 12[/tex]
Edit: correzione prima frase
Ultima modifica di eli9o il 21 mag 2008, 18:41, modificato 1 volta in totale.
Se ne era parlato anche qui!
E già che ci siamo ripropongo anche la generalizzazione:
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $
E già che ci siamo ripropongo anche la generalizzazione:
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $
>>> Io sono la gomma e tu la colla! <<<
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Esiste una generalizzazione più forte:Cammy87 ha scritto:Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora$ \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}k! $ divide $ \displaystyle\prod_{i<j}(a_i-a_j) $
Dati $ a_1,...,a_n $ interi allora $ \displaystyle\prod_{i<j}\frac{a_j-a_i}{j-i} $ è intero.
Ciau!
EDIT: oooops, hai ragione jordan, sono decisamente equivalenti, avevo letto male il testo....
Ultima modifica di piever il 25 mag 2008, 12:35, modificato 1 volta in totale.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Non so fino a che punto questa si possa chiamare dimostrazione (sempre che sia giusta)
Creiamo una strategia che scelga i numeri in modo da ridurre al minimo i multipli di un certo numero $ m $.
I cassetti sono i possibili resti $ \pmod m $
Siccome $ \forall k $ $ \binom{k}{2}-\binom{k-1}{2}<\binom{k+1}{2}-\binom{k}{2} $ conviene sempre mettere un numero nel cassetto "più vuoto".
Vediamo che scegliendo i primi $ n $ numeri si applica questa strategia per ogni $ m $.
ps: mi piacerebbe vedere una dimostrazione "olimpicamente accettabile"
Creiamo una strategia che scelga i numeri in modo da ridurre al minimo i multipli di un certo numero $ m $.
I cassetti sono i possibili resti $ \pmod m $
Siccome $ \forall k $ $ \binom{k}{2}-\binom{k-1}{2}<\binom{k+1}{2}-\binom{k}{2} $ conviene sempre mettere un numero nel cassetto "più vuoto".
Vediamo che scegliendo i primi $ n $ numeri si applica questa strategia per ogni $ m $.
ps: mi piacerebbe vedere una dimostrazione "olimpicamente accettabile"
@eli90: sostanzialmente la tua dimostrazione è giusta, solo che non sono la persona giusta per aiutarti a scrivere una dimostrazione che non perda punti.. (la mia griglia di cesenatico era 6-6-6-7-5-7). Qui trovi una mia dimostrazione che usa un simpatico lemma che puoi divertirti a dimostrare, più altre due dimostrazioni, di cui una però fa uso di cose che se non conosci non ti vengono in mente, mentre l'altra credo sia grossomodo uguale alla tua.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)