problema sns: primo=a differenza di quadrati
Inviato: 12 giu 2008, 23:12
oggi(come ieri purtroppo) non ho avuto modo di esercitarmi e di a ndare avanti con la teoria però mi sono imbattuto in un problema che mi sta facendo penare:
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p diverso da 2, può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.
l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.
io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):
considerando x,y interi
dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $
da cui
$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $
cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p diverso da 2, può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.
l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.
io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):
considerando x,y interi
dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $
da cui
$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $
cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).