equazione della sns
Inviato: 26 lug 2008, 21:31
sia p primo e sia data la seguente equazione:
$ x^p+y^p=p^z $
trovare tutte le soluzioni intere $ x,y,z,p $
io l'ho risolto. posto la mia soluzione. dopo mi dite se è sbagliata. quelli che vogliono risolverla non guardino la mia risoluzione(anche se magari la mia è sbagliata ).
ragiono modulo $ p $
poichè, ovviamente $ p \equiv 0 $ $ (mod p) $
si ha che
$ x^0+y^0=1+1=2 \equiv 0 $ $ (mod p) $
siccome p deve essere primo $ p=2 $.
l'equazione, allora, diventa:
$ x^2+y^2=2^z $
ragiono $ mod 3 $
so che $ x^n \equiv 1 $ $ (mod 3) $ se e solo se n è pari
in questo caso $ n=2 $ quindi
$ x^2 \equiv y^2 \equiv 1 $ $ (mod 3) $
quindi si ha che
$ 2 \equiv 2^z $
considero quindi le potenze di $ 2 $ modulo $ 3 $
per il piccolo teorema di Fermat so che si ripetono alla seconda potenza
quindi ho che tutte le potenze dispari di $ 2 $ sono congrue a $ 2 $ modulo $ 3 $
da cui ricavo che z è un qualunque numero dispari, quindi della forma $ 2n+1 $ con $ n $ naturale.
$ x $ e $ y $ possono essere entrambi pari o entrambi dispari.
si vede che una soluzione banale è $ x=y=1 $ e $ z=1 $
quindi si ha che $ 1^2+1^2=2^1 $
per formare tutte le potenze dispari di $ 2 $ basta che moltiplichi da entrambi i membri una potenza pari di $ 2 $.
quindi $ x $ e $ y $ sono uguali.
le potenze pari di due sono multipli di quattro. quindi x e y devono essere multipli di $ 4 $
$ x=y=4k $ con $ k $ intero
quindi come soluzioni $ (x,y,z,p) ho (1,1,1,2) U (-1,-1,1,2) U (4k,4k,2n+1,2) U (-4k,-4k,2n+1,2) $.
per un'ulteriore verifica del fatto che x e y siano pari posso dire che, poichè per z>1 2^z \equiv 0 (mod 4)
$ x^2+y^2(x^2)=2x^2 \equiv 0 (mod 4) $
quindi x deve essere pari(quindi anche y) e in più c'è anche quel $ 2 $
quindi x e y devono essere multipli di $ 4 $.
ditemi se è giusta.
$ x^p+y^p=p^z $
trovare tutte le soluzioni intere $ x,y,z,p $
io l'ho risolto. posto la mia soluzione. dopo mi dite se è sbagliata. quelli che vogliono risolverla non guardino la mia risoluzione(anche se magari la mia è sbagliata ).
ragiono modulo $ p $
poichè, ovviamente $ p \equiv 0 $ $ (mod p) $
si ha che
$ x^0+y^0=1+1=2 \equiv 0 $ $ (mod p) $
siccome p deve essere primo $ p=2 $.
l'equazione, allora, diventa:
$ x^2+y^2=2^z $
ragiono $ mod 3 $
so che $ x^n \equiv 1 $ $ (mod 3) $ se e solo se n è pari
in questo caso $ n=2 $ quindi
$ x^2 \equiv y^2 \equiv 1 $ $ (mod 3) $
quindi si ha che
$ 2 \equiv 2^z $
considero quindi le potenze di $ 2 $ modulo $ 3 $
per il piccolo teorema di Fermat so che si ripetono alla seconda potenza
quindi ho che tutte le potenze dispari di $ 2 $ sono congrue a $ 2 $ modulo $ 3 $
da cui ricavo che z è un qualunque numero dispari, quindi della forma $ 2n+1 $ con $ n $ naturale.
$ x $ e $ y $ possono essere entrambi pari o entrambi dispari.
si vede che una soluzione banale è $ x=y=1 $ e $ z=1 $
quindi si ha che $ 1^2+1^2=2^1 $
per formare tutte le potenze dispari di $ 2 $ basta che moltiplichi da entrambi i membri una potenza pari di $ 2 $.
quindi $ x $ e $ y $ sono uguali.
le potenze pari di due sono multipli di quattro. quindi x e y devono essere multipli di $ 4 $
$ x=y=4k $ con $ k $ intero
quindi come soluzioni $ (x,y,z,p) ho (1,1,1,2) U (-1,-1,1,2) U (4k,4k,2n+1,2) U (-4k,-4k,2n+1,2) $.
per un'ulteriore verifica del fatto che x e y siano pari posso dire che, poichè per z>1 2^z \equiv 0 (mod 4)
$ x^2+y^2(x^2)=2x^2 \equiv 0 (mod 4) $
quindi x deve essere pari(quindi anche y) e in più c'è anche quel $ 2 $
quindi x e y devono essere multipli di $ 4 $.
ditemi se è giusta.