Visto che siamo in vena di diofantee...

[geda]

Trovare tutte le coppie di interi positivi $ (x,y) $ che soddisfano l'equazione $ 2x^2+5y^2=11(xy-11) $


Da un Baltic Way di circa due lustri fa

[dalferro11]

Beh.....si trasforma in un'equazione di Pell di tipo più generale
$ x^2-dy^2=n $ e si risolve con le frazioni continue.......

[geda]

C'e' un modo piu' rapido e... "piu'" elementare

[dalferro11]

mi sembrava troppo evidente............................

[spiglerg]

Ci provo.
Posso riscrivere l'equazione come $ 2x^2+5y^2-11xy+121=2x^2+5y^2-10xy-xy+121=0 $
Raggruppo $ 2x(x-5y)-y(x-5y)+121=0 $, $ (2x-y)(x-5y)=-121=ab $.
Ora, $ 2x-y>x-5y, \forall x,y \in Z^+ $, dunque ho tre possibilita': $ a=121, b=-1; a=11, b=-11; a=1, b=-121 $. I primi due casi non hanno soluzioni intere, e l'ultimo e' valido per $ (x,y)=(14, 27) $

[geda]

Esatto!

[spiglerg]

Dopo aver pensato la prima sostituzione (11xy->10xy+xy) tutto veniva tranquillamente, a parte per il fatto che l'ultima coppia di fattori, (1, -127), all'inizio non mi era venuta in mente.

[FrancescoVeneziano]

In ogni caso, l'equazione di Geda non si trasforma in un'equazione di Pell "generalizzata", perché il $ d $ che si ottiene (usando la stessa notazione di dalferro11) è un quadrato; infatti abbiamo trovato un'unica soluzione mentre le equazioni di Pell come quella scritta da dalferro11 ne hanno infinite oppure non ne hanno alcuna.

[g(n)]

C'è come (quasi) sempre anche il metodo bovino: la considero come un'equazione di 2° grado in x e pongo il delta uguale ad un quadrato perfetto

[dalferro11]

Francescoveneziano ha ragione......comunque la mia intenzione era semplicemente di dire il metodo generale. Applicato il metodo si viene a notare che $ d $ è un quadrato perfetto. Vielen dank (grazie tante) per il chiarimento!!
Beh Un'altra cosa.... Il metodo cosiddetto "bovino" da g(n) non è poi così bovino.
E' il modo forse più generale per far vedere che un'equazione di questo tipo, può sempre essere ridotta ad un'equazione di Pell.....tolto il caso che $ d $ sia un quadrato perfetto.....