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Trovare tutti gli $ \displaystyle~(x,y)\in\mathbb{N}^2 $ tali che $ \displaystyle~|2^x-3^y|=1 $

P.S.: A questo punto...

per il caso 2^x-3^y>0 si trova facilmente che l'unica soluzione è x=2 y=1.
Invece il caso 2^x-3^y<0 è un po' più complicato (almeno lo è per me....) quindi sto ancora pensando a come risolverlo

mmm... mi è sfuggita la dimostrazione del primo. Ma forse non so leggere fra le righe, eh

aspettavo di scriverla tutta insieme...comunque:
guardando le congruenze modulo 3 delle potenze di 2 troviamo che x è pari quindi x=2n. A questo punto diventa 3^y=(2^n+1)(2^n-1). Mettendo a sistema 2^n+1=3^k e 2^n-1=3^(y-k) con k>y/2. Quindi diventa 2^(n+1)=3^(y-k)*[3^(2k-y)+1] da cui ricaviamo che deve essere y-k=0 quindi k=y. Dopodichè abbiamo che 2^n-1=1 quindi n=1.
Pertanto l'unica soluzione nel primo caso è x=2 y=1

se2^x-3^y<0>2^x quindi 3^y-2^x=1 una soluzione è x=1 y=1, per x>1 abbiamo che 2^x è congruo a 0 (mod 4) e quindi y=2y'.
si ha che (3^y'+1)(3^y'-1)=2^x quindi 3^y+1=2^a e 3^y-1=2^b con a+b=x
quindi 2^a-2^b=2 quindi a=2 e b=1:
l'unica soluzione per x>1 è:y=2 e x=3 se è sbagliato tutto potete tirarmi pomodori e mele marce.

nella prima riga intendevo dire che 3^y>2^x,scusatela mia tastiera,è la sua prima volta...

scusatela mia tastiera,è la sua prima volta

Bravo! Ora con questo puoi abbattere il problema di geda!

ecco, se poi quelle stesse formule le mettete dentro ai tag precedute da un $ o ~ (altrimenti si mangia la formula nella produzione dell'immagine) fate anche un piacere a chi legge

Usare il $ ~\LaTeX $ non e' difficile

kn ha scritto:

scusatela mia tastiera,è la sua prima volta

Forse non era colpa della tastiera: controlla di disattivare sempre l'HTML prima di inviare i messaggi, altrimenti < e > non vengono considerati come caratteri normali e ti sballano tutto (volendo nel Profilo puoi disabilitarlo permanentemente in modo che ci sia sempre già in automatico il segno di spunta affianco a Disabilita HTML nel messaggio... per farlo in fondo alla pagina del Profilo seleziona No sotto la voce Abilita sempre HTML)

grazie!!!!

Maioc92 ha scritto:Quindi diventa 2^(n+1)=3^(y-k)*[3^(2k-y)+1]

ma qui che fai?

Riscrivo qui riassumendo (non so se siano uguali le soluzioni gia postate)... tra l'altro ho usato questo per risolverne un altro xD:
$ $2^x-3^y=1 $
x=1,y=0 da soluzione. Assumo y>0. Analizzando mod 3 risulta x pari. Perciò per qualche k vale:
$ (2^k-1)(2^k+1)=3^y $
Da cui si ricava che 2 potenze di 3 distano sono 2==> sono rispettivamente 1,3 da cui si ricava la soluzione x=2,y=1.
$ $3^y-2^x=1 $
x=1,y=1 da soluzione. Assumo x>1. Analizzando mod 4 risulta y pari. Perciò per qualche k vale:
$ (3^k-1)(3^k+1)=2^x $
Da cui si ricava che 2 potenze di 2 distano 2==> sono rispettivamente 2,4 da cui si ricava la soluzione x=3,y=2.
Quindi in tutto le soluzioni sono: (x,y)=(1,0);(2,1);(1,1);(3,2).
Spero di non aver toppato nulla...