Gioco di magia... Ma perché funziona?

[Enrico Leon]

Prendiamo tre cifre $ A,B,C $ in modo che $ A<B<C $ e calcoliamo $ XYZ:=CBA-ABC $.
Quanto fa $ XYZ+ZYX $?

[dalferro11]

.......carino come problema......ma altrettanto facile la soluzione.
Senza scrivere tutta la spiegazione diciamo che ponendo il numero in questione nella forma 100c + 10b +a e tenendo conto nel calcolo della sottrazione che a<b<c con il conseguente cambio della seconda e terza cifra, si arriva alla conclusione che la somma è sempre 1089 poichè tutte le tre variabili a, b, c si elidono.

[Enrico Leon]

Io avevo iniziato così:
$ 100C+10B+A-(100A+10B+C)=\ldots=99(C-A). $
Essendo $ 2\leq C-A\leq9 $ si può ora o considerare brutalmente tutti i casi (ma non mi piace) oppure riuscire a dimostrare che $ 99(C-A) $ è un numero di tre cifre in cui la prima è $ X $, la seconda è $ 9 $ e la terza è $ 9-X $. Con il giochetto di prima si concluderebbe subito.
Come si dimostra questa cosuccia...?

[SkZ]

$ ~100(C-A)+(A-C)=100(C-A-1)+90+(10+A-C) $$ ~=100(C-A-1)+10\cdot9+[10-(C-A)] $