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Siano $ a $ e $ b $ interi relativi tali che $ 11 | 2a + 3b $. Si mostri che $ a^2 -5b^2 $ è divisibile per $ 11 $

Uso le congruenze:

$ 2a+3b\equiv 0 \ (1) $

$ 4a^2+12ab+9b^2\equiv 0\ (2) $

Dalla (1), poiché 11 è primo, posso scrivere:

$ a\equiv -\frac{3}{2}b $ e sostituendo nella 2 ottengo

$ 4a^2 - 9b^2\equiv 0 $

Moltiplicando tutto per il reciproco di 4 ottengo la tesi.

$ 11|2a+3b \Rightarrow $
$ \Rightarrow 11|4a^2+12ab+9b^2 (1) $
$ \Rightarrow 11|16a^2+48ab+36b^2 (2) $
$ \Rightarrow 11|2a^2+3ab (3) $

Quindi
$ 11|(1)-(2)+(3) \Rightarrow 11|4a^2+12ab+9b^2-16a^2-48ab-36b^2+2a^2+3ab \Rightarrow 11|-10a^2-33ab-27b^2 \Rightarrow 11|a^2-5b^2 $

GioacchinoA ha scritto:$ \Rightarrow 11|16a^2+48ab+36b^2 (2) $
$ \Rightarrow 11|2a^2+3ab (3) $

Non mi è chiaro questo passaggio

Comunque a questo punto posto la mia...

$ 11 | 2a + 3b \Rightarrow 11 | (2a+3b)(2a-3b) \Rightarrow 11 | 4a^2 - 9b^2 \Rightarrow 11 | 8a^2 - 18b^2 $

$ 11|11a^2 - 33b^2 \Rightarrow 11| 11a^2 - 33b^2 - (8a^2 - 18b^2) \Rightarrow 11|3a^2 - 15 b^2 \Rightarrow 11| a^2 - 5b^2 $

Che è la tesi

Forse ho scritto male, comunque voglio dire che $ 11|2a+3b $ implica sia la (1) che la (2) che la (3). La (1) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|(2a+3b)^2 $ , la (2) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|4(2a+3b)^2 $ , la (3) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|a(2a+3b) $, ok?

non credo che la 2 e la 3 siano collegate.... la 3 la puoi ottenere moltiplicando 2a+3b per a,pertanto se 11 divide 2a+3b dividerà anche a(2a+3b)

GioacchinoA ha scritto:Forse ho scritto male, comunque voglio dire che $ 11|2a+3b $ implica sia la (1) che la (2) che la (3). La (1) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|(2a+3b)^2 $ , la (2) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|4(2a+3b)^2 $ , la (3) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|a(2a+3b) $, ok?

Ah ok, mi ero convinto che c'era un collegamento tra le 2 che invece non esisteva

Maioc92 ha scritto:non credo che la 2 e la 3 siano collegate.... la 3 la puoi ottenere moltiplicando 2a+3b per a,pertanto se 11 divide 2a+3b dividerà anche a(2a+3b)

Esattamente

Già che ci sono posto anche la mia, visto che è leggermente diversa...
$ 11|2a+3b \rightarrow 3b\equiv -2a \mod{11} \rightarrow 3b\equiv 9a \mod{11} \rightarrow b\equiv 3a \mod{11} $
Sostituendo nella tesi si ottiene $ a^2 - 45a^2 \equiv 0 \mod{11} $ che è banalmente sempre vera.

Alex90 ha scritto:Siano $ a $ e $ b $ interi relativi tali che $ 11 | 2a + 3b $. Si mostri che $ a^2 -5b^2 $ è divisibile per $ 11 $

In $ \mathbb{Z}/11\mathbb{Z} $ vale $ a=-3b(2^{-1})=4b $ per ipotesi e vogliamo mostrare che $ a^2=5b^2=(4b)^2 $

$ 2a \equiv -3b (11) $, $ 4a^2 \equiv9b^2 (11) => 4a^2 - 9b^2 \equiv 0 (11) $.
Aggiungendo $ 11a^2 - 11b^2 $ si ottiene $ 15a^2 - 20b^2 \equiv 3a^2-4b^2 \equiv 0 (11) $.
Quindi $ 4a^2-9b^2 = 3a^2-4b^2 + a^2-5b^2 \equiv a^2-5b^2 \equiv 0 (11) $

Alex90 ha scritto: $ 11| 11a^2 - 33b^2 - $

Non capisco da dove hai ricavato questo passaggio. Grazie!

Ha semplicemente scritto che undici divide un suo multiplo.

Sintetizzando per una 'oneline':

$ \displaystyle 0 \equiv 2a + 3b \equiv 3(2a+3b)(2a-3b) \equiv 12a^2 - 27b^2 \equiv a^2 - 5 b^2 \mod{11} $

CoNVeRGe. ha scritto:Ha semplicemente scritto che undici divide un suo multiplo.

Sintetizzando per una 'oneline':

$ \displaystyle 0 \equiv 2a + 3b \equiv 3(2a+3b)(2a-3b) \equiv 12a^2 - 27b^2 \equiv a^2 - 5 b^2 \mod{11} $

Si avevo notato, ma perchè divide proprio "quel" polinomio..

Perchè è quello comodo da usare per la soluzione