87. Polinomi quadrati

[gatto_silvestro]

Trovare tutti i polinomi in una variabile con coefficienti interi tali che se $ a $ e $ b $ sono naturali tali che $ a+b $ è un quadrato perfetto, allora anche $ p(a)+p(b) $ è un quadrato perfetto.

[Anér]

Do per buono un lemma dimostrato dal Gobbino al Winter Camp 2009, durante l'ultima sessione di esercizi mi pare, che non ritengo utile dimostrare di nuovo qui: se $ q(x)\in\mathbb{Z}[x] $ è un polinomio il cui valore su un intero è sempre un quadrato perfetto, allora questo polinomio è il quadrato di un polinomio a coefficienti interi.
Suppongo che da subito che p non sia costante, tanto i polinomi costanti sono tutti della forma $ 2k^2 $
Pongo $ a=(y^2-k)x^2 $ e $ b=kx^2 $ con $ y,k\in\mathbb{Z},y^2\ge k $. Chiaramente $ \forall x\in\mathbb{Z}, a+b $ è un quadrato, per cui anche $ p((y^2-k)x^2)+p(kx^2) $ è un quadrato se x è intero. Ora se fisso y e k e pongo $ q(x)=p((y^2-k)x^2)+p(kx^2) $, ho che per il lemma $ q(x)=r(x)^2 $ per un certo polinomio r a coefficienti interi. Il coefficiente direttivo di q è dunque il quadrato di quello di r che è un intero, dunque il coefficiente direttivo di q è un quadrato perfetto. Se chiamo $ c $ il coefficiente direttivo di p e $ n $ il grado di p, ho che $ =c(y^2-k)^n+ck^n $ è sempre un quadrato, qualsiasi valore assumano k e y, purché $ k\leq y^2 $. Se pongo k=0 ottengo subito che c stesso è un quadrato perfetto, dunque dividendo per c (che è un coefficiente direttivo e dunque non è nullo) ho che $ (y^2-k)^n+k^n $ è sempre un quadrato, purché $ k\leq y^2 $. Ora si presentano due casi, n pari e n dispari.
Se n è pari ponendo $ y=2d $ e $ k=2d^2 $ ho che $ 2\cdot (2d^2)^n $ è un quadrato, assurdo perché il doppio di un quadrato positivo non è mai un quadrato.
Se n è dispari pongo k=1 e ottengo che $ (y^2-1)^n+1 $ è un quadrato per ogni scelta di y, dunque è il quadrato di un polinomio a coefficienti interi in y; tuttavia se $ n\geq 3 $ ho che sviluppando secondo Newton i primi due termini sono $ y^{2n}-ny^{2n-1} $, dunque il secondo coefficiente è dispari, cosa che non capita mai elevando un polinomio a coefficienti interi al quadrato. Dunque n può valere solo 1, e per tale valore si ha p(x)=cx+f, con c quadrato perfetto (lo abbiamo già visto) e perciò p(a)+p(b)=(quadrato)+2f, da cui facendo tendere il quadrato che si ottiene all'infinito si vede che f deve valere 0.
I polinomi sono dunque $ 2k^2 $ e $ k^2x $ per qualche k intero.

[Anér]

Ecco il nuovo problema:
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