Problema Teoria dei Numeri

[CuboRubik]

Grazie dell'aiuto, ora me la sono appuntata di fretta ma mi sembra di aver capito.. Qualcuno per caso l'aveva già visto? Di che gare è?

[jordan]

Determinare le coppie intere (x,y) tali che soddisfino l'uguaglianza 3*x^2-2*y^2==1998.

$ 37 \mid \mid 1998= 3x^2-2y^2 $ $ \implies 37 \nmid xy \implies $ $ (xy^{-1})^2 \equiv \frac{2}{3} \pmod{37} $, ma $ \left(\frac{2\cdot 3^{-1}}{37}\right)=\left(\frac{2}{37}\right)\left(\frac{3}{37}\right)=-1 $. []

[Claudio.]

Non avevo dubi che avresti postato ^^ comunque non l'ho capita dove posso trovare qualcosa sui razionali nell'aritmetica modulare? e cosa significa ||?

[Mist]

$a ||b \iff a|b \land a^2 \not \mid b$. Invece $\left( \frac{a}{b} \right) = \pm 1$ è qualcosa che centra con i residui quadratici, ma è un sacco che non uso il simbolo di legendre. Si ammette l'inverso di un numero $a$ modulo $b$ se e solo se $(a,b) = 1$ in quanto scrivere$\frac{1}{a} \mod{b}$ è un po' come domandarsi: che numero moltiplicato per ha da resto 1 modulo b ? Spero di essere stato chiaro...

[paga92aren]

Anche io sono arrivato a $2x^2-3y^2=37$ e analizzando modulo 4 ottengo che x è pari e poi modulo 8 trovo l'assurdo.

[jordan]

Anche io sono arrivato a $2x^2-3y^2=37$ e analizzando modulo 4 ottengo che x è pari e poi modulo 8 trovo l'assurdo.

Posto $ x:=2z $ avremmo $ 8z^2=3y^2+37 $, con $ y $ dispari, che modulo $ 8 $ è $ 0=3\cdot 1+37=40 $ dov'è l'assurdo?

Ps. Si, $ \left(\frac{a}{p}\right) $ è un simbolo di Legendre..

[CuboRubik]

Come come?! Cosa significa il simboli a||b?..
Mist però nella tua dimostrazione nn mi torna un calcolo: quando sostituisci x=2j e y=2k+1 in 2x^2-3y^2=37 risulta 8j^2-12k^2-12k=40 e nn 8j^2-12k^2-6K=40' o sbaglio?

[CuboRubik]

Scusate ma l'ho notato davvero solo io?!?!

[Claudio.]

$3(4k^2+4k+1)=12k^2+12k$...

[Mist]

yes, avete ragione voi allora, scusate, non ho controllato Facciamo che si conclude modulo 3 (o 8, non ricordo...) e amen

[CuboRubik]

Ah ok grazie! Cmq sì modulo 3 si conclude in fretta