Quando è un quadrato perfetto?

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
amatrix92
Messaggi: 818
Iscritto il: 21 nov 2008, 17:19
Località: Firenze

Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da amatrix92 » 01 feb 2011, 22:08

Determinare per quali valori di $ p $ primo , $ \displaystyle \frac {2^{p-1} -1}{p} $ è un quadrao perfetto.

Da uno stage di Parma di qualche anno fa.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Veluca
Messaggi: 185
Iscritto il: 27 dic 2008, 01:08
Località: Chiavari (Genova)

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da Veluca » 02 feb 2011, 15:14

Rilancio:
(b) Quando $\displaystyle \frac {11^{p-1} -1}{p}$ è un quadrato perfetto?
(c) Quando $\displaystyle \frac {7^{p-1} -1}{p}$ è un quadrato perfetto?

Queste due sono notevolmente più complicate (ha qualcosa a che fare con il fatto che 11 e 7 non sono pari :D) e provengono da un esercizio del WC2010 (mi pare N5, ma non sono sicuro)

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da Mist » 02 feb 2011, 22:44

Dai, provo temerariamente a rispondere al quesito base:
si deve avere che $2^{p-1}-1 = px^2$. Siccome $2 \mid p-1$, si ha che $2^{p-1}-1 \equiv 0 \mod{3}$ e che quindi $3 |px^2$ e $p \equiv 3 \mod{4}$. Scrivo quindi $p=4k-1$.
Bon, si ha quindi che $3|2^{4k-2}-1 = (2^{2k-1}-1)(2^{2k-1}+1) = px^2$. Si ha quindi che siccome $3 \not \mid 2^{2k-1}-1$, che $3|2^{2k-1}+1$. Usando il lifting lemma, si ha ora quindi che $v_3(2^{2k-1}+1) = v_3(3)+v_3(2k+1)$: siccome si deve avere che l'esponente di ogni fattore primo di quel prodotto sia pari, allora abbiamo che $v_3(2^{2k-1}+1) = v_3(3)+v_3(2k+1)= 1+v_3(2k+1) \in 2\mathbb{Z}+1$ e quindi $2k+1 = 3^{2j+1}h$ ($(h,3)=1$) da cui deriva che $k = \frac{3^{2j+1}h-1}{2}$. Si deve avere ora che $-h-1 \equiv 0 \mod{2}$ e quindi $(2,h)=1$. Scrivo $h=2z+1$ e, svolti i vari passaggi, si Ottiene che $p=2\cdot 3^{2j+1}(2z+1)+1$. Tornando al punto di partenza si deve però avere che $2^{2\cdot3^{2j+1}(2z+1)}-1 = x^2\cdot (2\cdot 3^{2j+1}(2z+1)+1)$. Ora, si vede subito che $2^{2\cdot3^{2j+1}(2z+1)} \equiv 0 \mod{8}$ sempre. si ha quindi che $1 \equiv x^2\cdot 2 \cdot (2z+1) +x^2$: essendo i residui quadratici modulo 8 $\{ 0,1,4 \}$ si vede facendo qualche conto che nessuno di questi residui è accettabile per risolvere l'equazione sopra, e quindi l'equazione di partenza non ha soluzione.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

amatrix92
Messaggi: 818
Iscritto il: 21 nov 2008, 17:19
Località: Firenze

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da amatrix92 » 02 feb 2011, 23:18

p=3 :roll:
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Mist
Messaggi: 542
Iscritto il: 01 gen 2011, 23:52
Località: Provincia di Milano

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da Mist » 02 feb 2011, 23:27

amatrix92 ha scritto:p=3 :roll:
Lol, ok allora se $j=0$ si ha infatti $p=3$ ed è l'unico caso in cui "Ora, si vede subito che $2^{2⋅3^{2j+1}(2z+1)}≡0mod8 sempre." è falso. Bon, mi sa che è quella l'unica soluzione :D
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

amatrix92
Messaggi: 818
Iscritto il: 21 nov 2008, 17:19
Località: Firenze

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da amatrix92 » 03 feb 2011, 00:04

p=7 :roll:
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

bĕlcōlŏn
Messaggi: 145
Iscritto il: 22 gen 2011, 12:56

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da bĕlcōlŏn » 03 feb 2011, 09:46

Mist ha scritto:Scrivo quindi $p=4k-1$
Mist ha scritto:...da cui deriva che $k = \frac{3^{2j+1}h-1}{2}$.
Mist ha scritto:...svolti i vari passaggi, si Ottiene che $p=2\cdot 3^{2j+1}(2z+1)+1$...
Forse all'inizio volevi scrivere $p=4k+3$? Anche perché qui utilizzi il lifting the exponents come se l'esponente fosse $2k+1=\dfrac{(4k+3)-1}{2}$
Mist ha scritto: $v_3(2^{2k-1}+1) = v_3(3)+v_3(2k+1)= 1+v_3(2k+1)$
A parte questo typo, se analizzo $2^{2\cdot3^{2j+1}(2z+1)}-1 = x^2\cdot (2\cdot 3^{2j+1}(2z+1)+1)$ modulo 8 (escludendo il caso patologico), ottengo $-1 \equiv x^2\cdot (2\cdot 3\cdot(2z+1)+1) \equiv x^2(12z+7) \equiv x^2(4z-1)$. Ma se $x^2\equiv 1 \pmod 8$, ti viene $4z\equiv 0 \pmod 8$. E questo vale se $z$ è pari.

Per una soluzione diversa metto un hint nascosto
Testo nascosto:
Nell'equazione $2^{p-1}-1 = px^2$ fattorizzare $2^{p-1}-1$
Non so quanto difficile possa essere, ma propongo di ragionare anche su quest'a generalizzazione:
Trovare tutte le coppie $(a,p)$ con $a \in \mathbb{N}$ e $p$ primo tali che $\dfrac{a^{p-1}-1}{p}$ è un quadrato.
"Il bon ton è la grazia del saper vivere, la leggerezza dell' esistere." (Lina Sotis, perfidamente elegante)

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da Claudio. » 03 feb 2011, 13:39

Oggi nell'ora di inglese ho buttato giù questo, dovrebbe reggere.
Allora il caso p=2 non va, quindi posto p diverso da 2 essendo p coprimo con 2 possiamo applicare il piccolo teorema di fermat in forma $2^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ da cui segue $2^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod p$ e quindi la frazione è sempre intera(fatto interessante ^^).
Poniamo adesso $p=2p_1+1 \Rightarrow \frac{2^{2p_1}-1}p\Rightarrow\frac{(2^{p_1}+1)(2^{p_1}-1)}p$ Adesso i due fattori sono dispari e differiscono di 2 quindi non hanno alcun fattore in comune, quindi p divide uno solo di essi, inoltre per essere quadrato perfetto il fattore che non è diviso da p deve essere un quadrato perfetto:
$2^{p_1}-1$ per $p_1=1\Rightarrow p=3 \Rightarrow \frac{2^{2}-1}3=1$ che è soluzione; per $p_1>2 \Rightarrow 2^{p_1}-1\equiv 3 \pmod 4$ che non è mai quadrato perfetto, quindi resta:
$2^{p_1}+1=k^2\Rightarrow 2^{p_1}=(k+1)(k-1)$ da cui essendo 4 e 2 le uniche potenze di due che differiscono di 2(posso darlo per scontato?) abbiamo $p_1=3\Rightarrow p=7$
Le uniche soluzioni sono quindi 3 e 7.
Ultima modifica di Claudio. il 03 feb 2011, 14:34, modificato 4 volte in totale.

Veluca
Messaggi: 185
Iscritto il: 27 dic 2008, 01:08
Località: Chiavari (Genova)

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da Veluca » 03 feb 2011, 13:41

bĕlcōlŏn ha scritto:Non so quanto difficile possa essere, ma propongo di ragionare anche su quest'a generalizzazione:
Trovare tutte le coppie $(a,p)$ con $a \in \mathbb{N}$ e $p$ primo tali che $\dfrac{a^{p-1}-1}{p}$ è un quadrato.
Sono abbastanza convinto che il caso generico sia molto difficile, se non impossibile.. già il caso a=7 fa patire e non poco..
@Claudio: sì, direi giusto :D ora prova con 11 xD

staffo
Messaggi: 305
Iscritto il: 01 mar 2010, 15:34

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da staffo » 03 feb 2011, 14:16

Posto la soluzione per l'11 che, alla luce della soluzione di Claudio, è più facile ora.

1) Verifico il caso $ p=2 $, da cui non ottengo soluzione.
2) Poichè $ 2|p-1 $ posso allora scrivere $ \frac{11^{p-1}-1}{p}=\frac{(11^{\frac{p-1}{2}}+1)(11^{\frac{p-1}{2}}-1)}{p} $
3) Per lo stesso ragionamento fatto da claudio, poichè i fattori differiscono di due, possono al più contenere come fattor comune $ 2 $, ma siccome avevo posto $ p>2 $, ne consegue che $ p|(11^{\frac{p-1}{2}}-1) $ o $ p|(11^{\frac{p-1}{2}}+1) $ (or esclusivo)
3)a) se $ p|(11^{\frac{p-1}{2}}-1) $ $ \Rightarrow $ $ 11^{\frac{p-1}{2}}=n^2-1 $ e quindi $ 11^{\frac{p-1}{2}}=(n+1)(n-1) $. Siccome due potenze di undici non differiscono mai tra di loro per, al più, 2, allora non ci sono soluzioni.
3)b) se $ p|(11^{\frac{p-1}{2}}+1) $ $ \Rightarrow $ $ 11^{\frac{p-1}{2}}=n^2+1 $. Analizzando le congruenze $ mod11 $ verifico che i residui quadratici $ mod11 $ sono $ (0,1,3,4,5,-2) $, da cui verifico che non ci sono soluzioni.

Non ci sono dunque soluzioni. (e credo valga anche per il caso p=7, non vedo dove siano i problemi, non dovrebbe esserci un residuo quadratico di -1 nel 7 :D ; o magari ho sbagliato qualche passaggio io nella mia soluzione :shock: )
P.S. per il caso generale con a, il passo 3)a) della mia soluzione sarebbe facile da verificare, ma i residui quadratici $ moda $ nel passo 3b non saprei proprio come farli xd.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

Veluca
Messaggi: 185
Iscritto il: 27 dic 2008, 01:08
Località: Chiavari (Genova)

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da Veluca » 03 feb 2011, 21:20

E chi ti dice che non ci siano un po' di fattori 2 in $11^{\frac{p-1}2}-1$ e un po' in $11^{\frac{p-1}2}+1$?

staffo
Messaggi: 305
Iscritto il: 01 mar 2010, 15:34

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da staffo » 03 feb 2011, 21:31

:shock: Lo sapevo io che c'era l'errore, e dire che ci ho pensato su un bel po' su quel punto per poi dire che era tutto a posto XD. Adesso vedo se riesco ad aggiustarla.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Quando è un quadrato perfetto?

Messaggio da Claudio. » 13 feb 2011, 19:03

Mi sono ricordato di questo problema :D Qualcuno lo risolva, io non riesco a concludere per $p_1$ pari....(parlo di quello con l'11).

Rispondi