96. Fattori primi relativamente piccoli (Staffetta)

[Anér]

Una generalizzazione di questo
Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti interi di secondo grado, e sia $ h $ un reale positivo. Dimostrare che esistono infiniti naturali $ n $ tali che ogni primo che divide il valore $ p(n) $ è minore di $ n^h $.

[Anér]

Scusatemi, ma ieri pomeriggio mi sono accorto che la mia soluzione a questo problema era sbagliata, quindi questo problema almeno per me diventa una congettura aperta.
Propongo allora un cambio di problema: dato un polinomio p(x) a coefficienti interi dimostrare che esiste un polinomio q(x) a coefficienti interi tale che p(q(x)) sia scomponibile nei polinomi a coefficienti interi.
Se qualcuno poi riesce a risolvere la congettura, magari anche nel caso di un polinomio di grado maggiore di 2, allora pubblichi la soluzione e avrà la mia gratitudine.

[Federiko]

Dato che nessuno continua la staffetta, provo io.. Allora, scelgo $q(x)=p(x)^2+x$. È ovviamente a coefficienti interi. Inoltre
$$p(p(x)^2+x)\equiv p(0+x)\equiv 0 \pmod {p(x)}$$
Spiego meglio quest'ultimo passaggio: se $p(x)=\sum a_i x^i$ allora
$$p(p(x)^2+x)=\sum a_i (p(x)^2+x)^i= r(x)p(x) + \sum a_i x^i = r(x)p(x) +p(x) = [r(x)+1]p(x)$$
Dove $r(x)$ è un opportuno polinomio a coefficienti interi. Ho trovato quindi che $p(x)$ ( che è a coefficienti interi) divide $p(q(x))$ e il grado è strettamente minore (ammesso che il grado di $p$ sia almeno 1). Infatti per $p(x)=3$ non funziona né la dimostrazione né la tesi

[Anér]

Va bene, grazie di aver notato l'imprecisione del testo. Vai pure avanti con il prossimo problema.

[Federiko]

Qui il prossimo problema