Allora provo io a risolvere il problema semplificato, sperando che la mia soluzione sia giusta
Allora, costruisco l'insieme $B$ delle funzioni da $\{1,2,..., n-2\}$ a $\{1,2,...,p\}$. Queste sono in numero di $p^{n-2}$ poichè ci sono $p$ modi di scegliere l'immagine di ciascuno degli $n-2$ elementi del dominio.
Mostro ora che $|A| \ge |B|$
Ora, tra tutte le funzioni che appartengono a $B$, alcune coppie di funzioni avranno almeno 3 valori $i$ tali per cui $f(i)\ne g(i)$, altre avranno solamente due valori per cui accade ciò, altre ancora solamente un valore.
A questo punto basta mostrare che si può creare una funzione iniettiva da $B$ ad $A$ per avere la tesi.
Ciò è vero poichè per ogni coppia di funzioni appartenenti a $B$ tali per cui c'è un solo valore di $i$ per cui $f(i)\ne g(i)$ (con $f, g$ appartenenti a $B$), si possono creare altre due funzioni $h$ e $t$ da $\{1,2,..., n\}$ a $\{1,2,...,p\}$, tali per cui gli elementi da $1$ a $n-2$ abbiamo la stessa immagine che hanno rispettivamente $f$ e $g$, mentre gli elementi $n-1$ e $n$ abbiano due immagini diverse nel codominio (inteso nel senso che le due immagini di $n-1$ e $n$ della funzione $h$ siano diverse dalle due immagini degli stessi valori della funzione $t$).
A questo punto è ovvio che $h$ e $t$ hanno almeno 3 valori $i$ tali per cui $h(i)\ne t(i)$, per il modo in cui sono state costruite. Inoltre, partendo da ogni funzione in $B$ se ne crea un altra in $A$, ma non è detto che tutte le funzioni di $A$ possano derivare da una funzione di $B$.
Dunque, abbiamo creato la funzione iniettiva e dimostrato che $|A| \ge |B|$, e dato che $|B| \ge p^{n-2}$, allora $|A| \ge p^{n-2}$.
(c.v.d.)