Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Anér
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Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98)

Messaggio da Anér » 15 apr 2011, 18:29

Dato un intero positivo $n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ chiamiamo $\Omega (n)$ il numero totale $\sum_{i=1}^s \alpha_i$ di fattori primi di $n$, contati con molteplicità. Sia $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ (dunque, per esempio, $\lambda (12)=\lambda (2^2\cdot 3^1)=(-1)^{2+1}=-1$).

Sia infine $S(m)=\sum_{i=1}^m \lambda (i)\cdot \lfloor\frac{m}{i}\rfloor$.

1) Si dimostri che $S(m)\geq 0$ per ogni $m$ intero positivo;
2) Sapete trovare una formula più semplice per $S(m)$?
Ultima modifica di Anér il 27 apr 2011, 00:02, modificato 1 volta in totale.
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<enigma>
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è!

Messaggio da <enigma> » 15 apr 2011, 19:34

Chi mi dimostra che $ T(m):=\sum _{i=1} ^m \lambda (i) \leq 0 $ per ogni $ m \in \mathbb N ^\ast $? :mrgreen:
Ultima modifica di <enigma> il 16 apr 2011, 21:20, modificato 1 volta in totale.
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Anér
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è!

Messaggio da Anér » 16 apr 2011, 19:04

Wow! Hai una dimostrazione elementare dell'ultimo fatto?
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Nabir Albar
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è!

Messaggio da Nabir Albar » 26 apr 2011, 18:13

È falso: $T(1)>0$...
Non ti basta? $T(906150257)>0$ :evil:

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Re: Sembra un Romanian ma non lo è!

Messaggio da <enigma> » 26 apr 2011, 18:37

Nabir Albar ha scritto:È falso: $T(1)>0$...
Non ti basta? $T(906150257)>0$ :evil:
Argh! Lo scherzo non ha neanche raggiunto le due settimane!
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è!

Messaggio da dario2994 » 26 apr 2011, 19:26

<enigma> ha scritto:
Nabir Albar ha scritto:È falso: $T(1)>0$...
Non ti basta? $T(906150257)>0$ :evil:
Argh! Lo scherzo non ha neanche raggiunto le due settimane!
Giusto il tempo di farsi a manina i conti fino a $n=906150257$ e scoprire che era una burla :P
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Anér
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è!

Messaggio da Anér » 26 apr 2011, 23:52

Che delusione! Intendo che è stato Nabir Albar, o meglio il suo 906150257 a deludermi (non lo scherzo di <enigma>, anzi c'ero proprio cascato!). Infatti avevo prima cercato di dimostrare proprio la disuguaglianza di <enigma>, poi, disperando, ho aggiunto i coefficienti che aggiustano un po' le cose.
Sentite, visto che mi tocca proporre un problema per la staffetta e non ho idee e questo problema ancora nessuno lo ha risolto, facciamo che diventa il prossimo problema. Cambio anche il nome dell'argomento.
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<enigma>
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Elementare, mr. Pólya

Messaggio da <enigma> » 27 apr 2011, 13:25

Per non essere inutile fino in fondo: click!
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jordan
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98

Messaggio da jordan » 27 apr 2011, 22:41

Anér ha scritto:Dato un intero positivo $n=\prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ chiamiamo $\Omega (n)$ il numero totale $\sum_{i=1}^s \alpha_i$ di fattori primi di $n$, contati con molteplicità. Sia $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ (dunque, per esempio, $\lambda (12)=\lambda (2^2\cdot 3^1)=(-1)^{2+1}=-1$).

Sia infine $S(m)=\sum_{i=1}^m \lambda (i)\cdot \lfloor\frac{m}{i}\rfloor$.

1) Si dimostri che $S(m)\geq 0$ per ogni $m$ intero positivo;
2) Sapete trovare una formula più semplice per $S(m)$?
Woah, mi è uscita la soluzione in più o meno 5 minuti :mrgreen:

a) $\lambda(\cdot)$ è moltiplicativa, e vale $S(1)=1$. E' sufficiente mostrare che $S(m+1)\ge S(m)$ per ogni intero positivo $m$. Abbiamo $S(m+1)-S(m)=\displaystyle \sum_{1\le i\le m+1}{\lambda(i)\left(\lfloor\frac{m+1}{i}\rfloor -\lfloor\frac{m}{i}\rfloor \right)}$ (infatti $\lfloor \frac{m}{m+1}\rfloor =0$). Notiamo che il fattore $\left(\lfloor\frac{m+1}{i}\rfloor -\lfloor\frac{m}{i}\rfloor \right)$ vale $1$ se $i\mid m+1$, altrimenti è nullo. Quindi $S(m+1)-S(m)=\sum_{j\mid m+1}{\lambda(j)}$. Detta $\displaystyle \prod_{1\le i\le k}{p_i^{\alpha_i}}$ la fattorizzazione di $m+1$, poichè $\lambda(\cdot)$ è moltiplicativa, vale anche $\displaystyle S(m+1)-S(m)=\prod_{1\le i\le k}{\left(\sum_{0\le t\le \alpha_i}{\lambda(p_i^t)}\right)}$. Adesso $\sum_{0\le t\le \alpha_i}{\lambda(p_i^t)}$ vale $1$ se $2\mid \alpha_i$, altrimenti è nullo. In particolare $S(m+1)\ge S(m)$ per ogni intero positivo $m$ e $S(1)>0$.

b) Proseguendo con quanto osservato prima, $S(m+1)-S(m)$ vale $1$ se $m+1$ è un quadrato perfetto, altrimenti è nullo (poichè esisterebbe $p\in \mathbb{P}$ tale che $2\nmid \upsilon_p(m+1)$). Questo è sufficiente a concludere che $S(m)=\lfloor \sqrt{m} \rfloor$. []
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98

Messaggio da jordan » 28 apr 2011, 10:30

Sulla stessa strada..

Per ogni intero $ n>0 $ e primo $ q\in \mathbb{P} $ definiamo:
  • $\lambda_q(n):=0$ se esiste $p\in \mathbb{P}$ tale che $q\nmid \upsilon_p^2(n)-\upsilon_p(n)$
    $\lambda_q(n):=1$ se $2\mid \left|\{p\in \mathbb{P}:\displaystyle \frac{\upsilon_p(n)-1}{q}\in \mathbb{Z}\} \right|$
    $\lambda_q(n):=-1$ se $2\nmid \left|\{p\in \mathbb{P}:\displaystyle \frac{\upsilon_p(n)-1}{q}\in \mathbb{Z}\} \right|$
Definita $\displaystyle S(m):=\sum_{1\le i\le m}{\lambda_q(i)\lfloor \frac{m}{i}\rfloor}$, allora vale $S(m)=\lfloor \sqrt[q]{m} \rfloor$.
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98

Messaggio da Valenash » 28 apr 2011, 15:11

:evil: :evil: :evil: :evil: :evil:
Dannazione!! mi hai battuto sul tempo..maledetta scuola, se oggi fossi stato ancora in vacanza l'avrei scritta stamattina XD
la mia era quasi uguale, prima dimostravo che $S(m)=\lfloor \sqrt{m} \rfloor$ che implicava la 1).
Ho sempre pensato che la serie armonica non divergesse..poi ho scoperto che non è così...
Ho sempre pensato che l'infinito fosse un numero..grande ma un numero.. poi ho scoperto che non è così...
E' inutile.. la matematica non da' certezze e nuoce gravemente alla sanità mentale..xDxD

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Re: Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98

Messaggio da jordan » 28 apr 2011, 15:26

Poco male, proponi tu il prossimo :wink:
Ps. senza farci aspettare 15 giorni -.-
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Re: Sembra un Romanian ma non lo è! (invece è il problema 98

Messaggio da Valenash » 28 apr 2011, 15:38

Va bene, grazie mille.. allora vedrò di trovare un bel problema da proporre in un paio di giorni massimo =)
Ho sempre pensato che la serie armonica non divergesse..poi ho scoperto che non è così...
Ho sempre pensato che l'infinito fosse un numero..grande ma un numero.. poi ho scoperto che non è così...
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