109- Triangoli con lati interi

[Hawk]

Trovare tutti i triangoli $ ABC $ con lati di lunghezza intera ed angolo A doppio dell'angolo B.
Bonus: trovare tutti i triangoli con lati di lunghezza intera ed un angolo di 60°.

[stergiosss]

Noto innanzitutto che l'angolo in $B$ può variare tra 0° e 60° (estremi esclusi), per ovvie ragioni geometriche.
Usando la notazione standard per i triangoli (angolo $\alpha$ nel vertice $A$, $\beta$ in $B$ e $\gamma$ in $C$, lato $a$ opposto ad $A$, $b$

opposto a $B$, $c$ opposto a $C$) so che:
$ \displaystyle \alpha = 2\beta \Rightarrow \sin\alpha = 2\sin\beta\cos\beta $

$ \displaystyle \gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 3\beta \Rightarrow \sin\gamma = \sin(3\beta) = $
$ \displaystyle = \sin(2\beta)\cos\beta + \cos(2\beta)\sin\beta = \sin\beta (4\cos^2\beta - 1) $

Quindi per il teorema dei seni ho che

$ \displaystyle \frac{a}{2\sin\beta\cos\beta} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\beta (4\cos^2\beta - 1)} \Rightarrow \frac{a}{2\cos\beta} = b = \frac{c}{4\cos^2\beta - 1} $

Ora definisco $t = \cos\beta$, e noto che $ \displaystyle t \in ] \frac{1}{2}; 1 [ $




Il problema ora è diventato trovare tutte le quaterne composte da 3 interi positivi $a$, $b$, $c$ e un reale $ \displaystyle \frac{1}{2} \lt t \lt 1 $ che soddisfano la catena di uguaglianze:

$ \displaystyle \frac{a}{2t} = b = \frac{c}{4t^2 - 1} $ (1)




Affermo che le soluzioni sono tutte e sole del seguente tipo:
$ \displaystyle b=xy^2 $
$ \displaystyle a=xy^2 + rxy $
$ \displaystyle c=rx(2y+r) $
$ \displaystyle \cos\beta = \frac{1}{2} ( 1 + \frac{r}{y} ) $

al variare di $y$ tra gli interi positivi maggiori di 1, $x$ tra gli interi positivi liberi da quadrati (http://en.wikipedia.org/wiki/Square-free_integer)
e con $r$ intero compreso strettamente tra 0 e $y$ ($0 \lt r \lt y$)

La dimostrazione nel prossimo post perché questo si è fatto un po' lunghino

[stergiosss]

Mi soffermo sulla prima uguaglianza della catena (1), equivalente a:
$ \displaystyle \frac{a}{b} = 2t \in ]1; 2[ \Rightarrow a \in ]b; 2b[ $

Quindi noto che, fissato $b$ maggiore di 1, posso scegliere $a$ in $(b-1)$ modi diversi e calcolare $t$ di conseguenza in modo che l'uguaglianza sia soddisfatta.
Resta il problema della seconda uguaglianza. Supponiamo di scegliere $a$ casualmente e vediamo cosa succede.

Fissati $a$ e $b$ pongo $ \displaystyle 2t = \frac{a}{b} $

quindi, dalla seconda uguaglianza della (1), ho che

$ \displaystyle c = b(4t^2-1) = b(\frac{a^2}{b^2} - 1) = \frac{a^2}{b} - b $

ed è necessario quindi che $b$ divida $a^2$


Noto subito che $b$ non può essere square-free, perché se lo fosse dovrebbe accadere che $b|a$, in contrasto con l'ipotesi che $a \in ]b; 2b[$

Posso quindi scrivere $b=xy^2$, con $y \gt 1$ e $x$ square-free

Ora il mio obiettivo è trovare tutti gli $a \in ]b; 2b[$ tali che $b|a^2$
oppure, che è equivalente, trovare tutti gli $i \in ]0; b[$ tali che $b|(b+i)^2$, e cioè che la seguente frazione è intera:

$ \displaystyle \frac{(b+i)^2}{b} = \frac{(xy^2+i)^2}{xy^2}= \frac{x^2y^4+2ixy^2+i^2}{xy^2} = xy^2 + 2i + \frac{i^2}{xy^2} $

Ho quindi che $x|i^2$, ma $x$ è square-free e quindi dev'essere $i=kx$. Ricordo però che $kx = i \in ]0; b[ = ]0; xy^2[$ e quindi $0 \lt k \lt

y^2$

Sostituisco e ottengo che $xy^2 | k^2x^2$, e quindi $y^2 | k^2x$
Ragioniamoci. Un generico primo $p$ compare nella fattorizzazione di $y^2$ con esponente pari, diciamo $2n_p$, quindi lo stesso primo deve

comparire nella fattorizzazione di $k^2x$ con esponente maggiore o uguale a $2n_p$.
Ma $x$ è square-free, e questo vuol dire che qualunque primo (compreso $p$) compare nella sua fattorizzazione con esponente minore o uguale a 1.
Quindi $p$ deve avere esponente maggiore o uguale $(2n_p - 1)$ nella fattorizzazione di $k^2$, ma quest'ultimo è un quadrato e quindi ogni

esponente è pari, e cioè $p$ ha esponente uguale almeno a $2n_p$.

Il discorso è generico, vale per ogni primo che divide $y^2$, e quindi ho che $y^2 | k^2$, e quindi $y|k \Rightarrow k=ry$

Ma avevamo osservato che $0 \lt k \lt y^2$, e quindi $0 \lt r \lt y$

Sostituisco tutti i cambi di variabile effettuati e ottengo che DEVE essere:
$ \displaystyle b=xy^2 $ con $y \gt 1$ e $x$ square-free
$ \displaystyle a=xy^2 + rxy $ con $0 \lt r \lt y$
$ \displaystyle c=rx(2y+r) $
$ \displaystyle \cos\beta = \frac{1}{2} ( 1 + \frac{r}{y} ) $
(condizione necessaria)

Ma si verifica facilmente che questi valori soddisfano la catena di uguaglianze (1), ed altrettanto facilmente si osserva che $a, b, c$ sono

interi e che $\frac{1}{2} \lt \cos\beta \lt 1$ (condizione sufficiente)

Quindi le soluzioni cercate sono tutte e sole di questo tipo

[stergiosss]

Se quello che ho scritto è giusto, non ho un problema da proporre per la staffetta. Quindi lascio il compito a chi risolverà il Bonus

[Karl Zsigmondy]

Detto c il lato opposto all'angolo di 60° e a, b gli altri due lati ho che per il teorema di Carnot vale $ c^2 = a^2 + b^2 - ab $ da cui è evidente che se due fra a, b, c hanno un fattore in comune ce l'ha anche il terzo, quindi posso supporre WLOG che a, b, c siano coprimi a due a due fra di loro. Ora, dato che sono lati di un triangolo, posso sostituire $ a=\frac{y+z-x}{2} $ e cicliche (ovviamente anche x, y, z sono interi positivi perché x=b+c, y=c+a, z=a+b). Sostituendo nella relazione ottenuta grazie al teorema di Carnot e svolgendo i conti arrivo a dire che $ z=\frac{4xy-x^2-y^2}{x+y}=\frac{6xy}{x+y}-x-y $. Soprattutto dalla prima uguaglianza è evidente che se x e y hanno un fattore in comune ce l'ha anche z, il che andrebbe contro il fatto che a, b, c sono a due a due coprimi fra loro (a meno che il fattore in questione non sia due che se ne va col 2 del denominatore della frazione di sopra). Posso quindi distinguere due casi.
CASO 1: (x,y)=2
Pongo x=2h, y=2k, con (h,k)=1 e h,k interi positivi. Quindi ho che deve essere intera l'espressione $ \frac{12hk}{h+k} $ da cui ho che h+k divide 12. Posso avere solo:
h=k=1, che mi genera tutti i triangoli equilateri
h=2, k=1 (o viceversa) che mi dà però un triangolo degenere
h=3, k=1 (o viceversa) ma i lati non vengono interi
h=5, k=1 (o viceversa) ma mi viene z negativo
h=11, k=1 (o viceversa) ma mi viene z negativo
h=7, k=5 (o viceversa) ma i lati non vengono interi
CASO 2: (x,y)=1
Ho che deve essere intera l'espressione $ \frac{6xy}{x+y} $ da cui ho che x+y divide 6. Posso avere solo:
x=y=1 che non mi dà lati interi
x=2, y=1 (o viceversa) che mi dà un triangolo degenere
x=5, y=1 (o viceversa) ma mi viene z negativo
Quindi l'unico caso ammissibile è quello del triangolo equilatero, che può avere il lato intero con misura qualsiasi.
Ovvero (a, b, c) = (l, l, l) con l qualsiasi negli interi positivi.

[Karl Zsigmondy]

Se non ci sono errori/obiezioni, domani posto il prossimo problema.

[Hawk]

Sì, le soluzioni sono corrette, entrambe.
Quindi a Karl l'onere di postare il prossimo problema.