116. Successione con pochi primi

[Sonner]

Dati $a>b>1$ interi positivi, sia $x_n=\frac{a^n-1}{b^n-1}$. Trovare il minimo $d$ tale che per ogni $a,b$ la successione non contiene $d$ numeri primi consecutivi.

[nobu]

Suppongo che per qualche $a$ e $b$ esistano almeno due primi consecutivi nella successione, avrò quindi che $b^n-1\mid a^n-1$ e $b^{n+1}-1\mid a^{n+1}-1$, da cui
$b-1\mid a^n-1$ e $b-1\mid a^{n+1}-1$ e di conseguenza $a^n\equiv 1 \pmod{b-1}$ e $a^{n+1}\equiv 1 \pmod{b-1}$.
Quindi ho che $ord_{b-1}{a}\mid n$ e $ord_{b-1}{a}\mid n+1$ e perciò $ord_{b-1}{a}=1 \Longrightarrow b-1\mid a-1$.

Poichè i due numeri $x_n$ e $x_{n+1}$ devono essere due primi $p$ e $q$, ho che:
$p(b^n-1)=a^n-1\Longrightarrow p(b-1)(b^{n-1}+...+1)=(a-1)(a^{n-1}+...+1)$
Ma $a-1=k(b-1)$, quindi:
$p(b^{n-1}+...+1)=k(a^{n-1}+...+1)$

Ora $p$ divide $k$ oppure divide $a^{n-1}+...+1$.

• Se $p$ divide $a^{n-1}+...+1$, allora $k$ divide $b^{n-1}+...+1$.
  Poi ho che $q(b^{n+1}-1)=a^{n+1}-1 \Longrightarrow q(b^{n}+...+1)=k(a^{n}+...+1)$; se in questo caso $q$ dividesse $k$, dovrei avere che $a^n+...+1$ divide $b^n+...+1$, che è impossibile perchè $b<a$; quindi ho anche che $k$ divide $b^n+...+1$.
  Quindi $k\mid b^{n-1}+...+1$ e $k\mid b^{n}+...+1 \Longrightarrow k\mid b^n$, ma ho anche che $k\mid b^n-1$, quindi dovrei avere $k=1$, che è impossibile perchè otterrei
  $a-1=b-1$.
• Se invece $p$ divide $k$, ho che $a^{n-1}+...+1$ divide $b^{n-1}+...+1$, ma poichè $b<a$, l'unica possibiltà è che $n$ sia uguale a 1.

Quindi se ho che due termini consecutivi della successione sono primi allora il primo è $x_1$ e perciò posso avere al massimo due primi consecutivi.
E posso effettivamente averne due consecutivi, per esempio prendendo $b=2$ e $a=4$, da cui per $n=1$ e $n=2$ ottengo $x_1=3$ e $x_2=5$.

[Sonner]

Giusto

[nobu]

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