Mathematical Reflections 2006, J2

[Eleven]

Mostra che per ogni intero $ a \neq 0 $ è possibile trovare un intero $ b \neq 0 $ in modo tale che l'equazione $ ax^2 - (a^2+b)x + b = 0 $ abbia radici intere.

[karlosson_sul_tetto]

Testo nascosto:

Apriamo la parentesi e abbiamo $ ax^2-ax^2 +bx+b=0 $, quindi $ b(x+1)=0 $. Quindi $ b=0 $

[doiug.8]

Apriamo la parentesi e abbiamo $ ax^2-ax^2 +bx+b=0 $, quindi $ b(x+1)=0 $. Quindi $ b=0 $

Riguarda ciò che hai scritto.

[<enigma>]

Testo nascosto:

Apriamo la parentesi e abbiamo $ ax^2-ax^2 +bx+b=0 $, quindi $ b(x+1)=0 $. Quindi $ b=0 $

E' uno scherzo?

[Eleven]

Non mi torna il tuo testo..

[karlosson_sul_tetto]

Che scemo che sono Mi scuso con tutti.. avvo letto $ a^2x $ al posto di $ ax^2 $

[doiug.8]

Che scemo che sono Mi scuso con tutti.. avvo letto $ a^2x $ al posto di $ ax^2 $

Semmai è il contrario

[karlosson_sul_tetto]

Che scemo che sono Mi scuso con tutti.. avvo letto $ a^2x $ al posto di $ ax^2 $

Semmai è il contrario

Sono un fottuto idiota D:

[Mr. Mojo]

Scelgo $ b=ak $ da cui riscrivo l'equazione come

$ x^2-(a+k)x+k=0 $

Per le formule di viete ho che $ x_1x_2=k $ e $ x_1+x_2=a+k $.

Per dimostrare la tesi è sufficiente mostrare che l'equazione

$ x_1+x_2=a+x_1x_2 $

ha sempre soluzioni negli interi potendo scegliere liberamente $ x_1 $ e $ x_2 $.

Infatti si ha che

$ \displaystyle x_1=\frac{a-x_2}{1-x_2}=1+\frac{a-1}{1-x_2} $

che ha chiaramente soluzione per qualche x in N.

[Karl Zsigmondy]

Basta scegliere $ b=-2a^2+4a $

[jordan]

Bonus: Mostrare che per ogni $\epsilon>0$ esiste $k>0$ tale che per ogni scelta di $a \in \mathbb{Z}\setminus \{0,1\}$, esistono al massimo $\lfloor ka^{\epsilon}\rfloor$ valori distinti di $b \in \mathbb{Z}$ tali che l'equazione sopra ha entrambe le radici intere.