119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Messaggio da jordan » 11 mar 2012, 22:26

Trovare tutti gli interi positivi $n$ tali che l'insieme $\{n,n+1,n+2,\ldots,n+9\}$ può essere partizionato in due sottoinsiemi a prodotto costante.
Ultima modifica di jordan il 03 ago 2012, 17:16, modificato 1 volta in totale.
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karlosson_sul_tetto
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Re: 119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 11 mar 2012, 23:21

Cosa si intende con "prodotto costante"?
"Inequality happens"
---
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jordan
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Re: 119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Messaggio da jordan » 11 mar 2012, 23:29

Che il prodotto di tutti gli elementi di un sottoinsieme e' uguale al prodotto di tutti gli elementi dell'altro.. :roll:

Ps. Sebbene l'abbia "inventato", scommetto che l'avranno già postato da qualche parte per quanto semplice e' la soluzione
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<enigma>
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Re: 119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Messaggio da <enigma> » 12 mar 2012, 14:13

Se $11$ divide uno fra quei dieci numeri abbiamo un assurdo perché non può dividerne un altro ma il prodotto degli elementi di ciascuno dei due sottoinsiemi ha il fattore $11$. Siano $S_1$ e $S_2$ i due insiemi e $P$ il prodotto degli elementi di ciascuno: allora $\prod _{k=0}^9 (n+k) \equiv -1 \pmod {11}$, ma anche $=\prod_{i \in S_1} i \prod_{j \in S_2} j \equiv P^2$; tuttavia $P^2 \equiv -1 \pmod {11}$ è assurdo. Tale partizione è quindi impossibile.
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Re: 119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Messaggio da Sonner » 12 mar 2012, 14:25

Lo stesso problema con 6 numeri invece che 10 è l'IMO 1970/4 e ovviamente si risolve allo stesso modo (anche $7\equiv 3 \pmod {4}$) :P

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<enigma>
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Re: 119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Messaggio da <enigma> » 12 mar 2012, 14:31

Allora a questo punto posso fare un'osservazione: se il modulo non è un numero simpatico come un primo $\equiv -1 \pmod 4$, comunque scelta la partizione, $\prod_{k: n+k \in S_1}(n+k)=\prod_{j: n+j \in S_2}(n+j)$ è un'equazione polinomiale in $n$ con un numero finito di soluzioni, dunque avendo a disposizione un computer l'esistenza o meno di un $n$ del genere si riduce ad un controllo finito di casi su tutte le partizioni possibili.
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Re: 119. Prodotto costante di due sottoinsiemi

Messaggio da jordan » 12 mar 2012, 18:11

Sonner ha scritto:Lo stesso problema con 6 numeri invece che 10 è l'IMO 1970/4 e ovviamente si risolve allo stesso modo (anche $7\equiv 3 \pmod {4}$) :P
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