122. (a+1/2)^n+(b+1/2)^n è intero

[jordan]

Dal 4 agosto Leonida non è si è fatto piu' vivo sul forum, e nessuno ha voluto postare quello nuovo, per cui..

Siano a e b due interi positivi fissati. Mostrare che esiste solo un numero finito di interi positivi n tali che $\displaystyle \left(a+\frac{1}{2}\right)^n+\left(b+\frac{1}{2}\right)^n$ è intero.

[Ido Bovski]

$\displaystyle \left(a+\frac{1}{2}\right)^n+\left(b+\frac{1}{2}\right)^n=\frac{(2a+1)^n+(2b+1)^n}{2^n}=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n 2^k\binom{n}{k}(a^k+b^k)$

• Se $n\neq 0$ è pari, allora $2^n\nmid (2a+1)^n+(2b+1)^n$, infatti
  $\displaystyle \sum_{k=0}^n 2^k\binom{n}{k}(a^k+b^k)\equiv \sum_{k=0}^1 2^k\binom{n}{k}(a^k+b^k)\equiv 2+2n(a+b)\equiv 2 \not\equiv 0 \pmod 4$
  Dunque non esiste un $n$ che soddisfa le condizioni richieste.
• Se $n$ è dispari, allora, poiché $2|(2a+1)+(2b+1)$, per LTE
  $\nu_2((2a+1)^n+(2b+1)^n)=\nu_2((2a+1)+(2b+1))=1+\nu_2(a+b+1)$
  Pertanto $2^n|(2a+1)^n+(2b+1)^n$ per $ \lceil (1+\nu_2(a+b+1))/2 \rceil $ scelte di $n$.

[jordan]

[Edit]: Tutto corretto

[Ido Bovski]

Proviamo a ragionare...
Se $n$ è dispari allora
$\displaystyle (2a+1)^n+(2b+1)^n=((2a+1)+(2b+1))\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}(2a+1)^{n-i}(2b+1)^{i-1}$
$\displaystyle \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}(2a+1)^{n-i}(2b+1)^{i-1}\equiv \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}\equiv -1 \pmod 2$
Quindi confermo che per $n$ dispari $\nu_2((2a+1)^n+(2b+1)^n)=\nu_2((2a+1)+(2b+1))$.
Dove sbaglio?

[jordan]

Dove sbaglio?

Errore mio, sorry vai pure avanti col prossimo