124. [tex]n\mid (a^n+1)[/tex]

[jordan]

Sia dato un intero $ a \ge 3 $. Mostrare che esiste un intero $ n $ con esattamente 2012 divisori primi tale che $ n\mid (a^n+1) $

[jordan]

E' passata oltre una settimana, nessuna idea..?

In caso, tra non molto posto la soluzione

[nobu]

Voglio dimostrare che dati 2 interi $a\geq 3$ e $k\geq 1$, esiste un intero $n$ con esattamente $k$ divisori primi t.c. $n\mid a^n+1$.

Distinguo 2 casi:

• Se $a+1$ non è una potenza di 2, dimostro per induzione su $k$:
  PASSO BASE: $k=1$. Scelgo $n=q$ con $q$ primo dispari che divide $a+1$, allora $q\mid a+1\mid a^q+1$.
  PASSO INDUTTIVO: $k\to k+1$. Per ipotesi induttiva ho $n$ intero con esattamente $k$ divisori primi t.c. $n\mid a^n+1$.
  Considero un primo dispari $q$ che divide $n$ (che esiste perchè all'inizio ho preso un primo dispari che divide $a+1$), allora ho che $nq^\alpha \mid a^{nq^\alpha}+1$ per ogni $\alpha$ intero positivo, dato che $n\mid a^n+1\mid a^{nq^\alpha}+1$ e per LTE vale $\upsilon_q(a^{nq^\alpha}+1)=\upsilon_q(a^n+1)+\alpha$.
  Voglio dimostrare quindi che esiste un primo $p$ tale che $p\mid a^{pnq^\alpha}+1$, ma $p\nmid nq^\alpha$; avrei quindi che $pnq^\alpha$ ha esattamente $k+1$ divisori primi e $pnq^\alpha\mid a^{pnq^\alpha}+1$.
  Ma $p\mid a^{pnq^\alpha}+1 \iff p\mid a^{nq^\alpha}+1$, quindi quello che voglio equivale a dimostrare che esiste $\alpha$ t.c. $a^{nq^\alpha}+1$ ha dei divisori primi che non dividono $n$, ma ciò è facilmente verificabile perchè aumentando $\alpha$ la valutazione $p$-adica dei primi che dividono $n$ rimane la stessa tranne che per $q$, ma quindi $a^{nq^\alpha}+1$ diventa "troppo grande" per avere solo primi che dividono anche $n$.
• Se $a+1$ è una potenza di 2 c'è qualcosa da sistemare nel passo base, perchè non posso scegliere un primo $q$ dispari t.c. $q\mid a+1$.
  Quindi se $k=1$ scelgo $q=2$ che divide $a+1$ e ho quindi che $2\mid a^2+1$.
  Se $k=2$ voglio quindi dimostrare che esiste un primo dispari che divide $a^2+1$, ma questo è vero perchè $a^2+1\equiv 2 \pmod 4$.
  Tutto il resto è uguale a prima.

[jordan]

Per info, e' stato preso dalla shortlist di un anno tra il 2000 e il 2010 (non ricordo quale di preciso).. vai col prossimo