128. Infiniti divisori primi per polinomi non costanti

[jordan]

Sia $f(x)$ un polinomio non costante a coefficienti interi. Sia $S(f(x))$ l'insieme di tutti e soli i primi $p$ tali che esiste $n$ intero con $p\mid f(n)$. Mostrare che $S(f(n))$ non e' finito.

(Schur)

[Ido Bovski]

Sia $\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^m a_ix^i$. Se $a_0=0$, chiaramente $p\mid f(p)$ per ogni $p$ primo. Analizziamo ora il caso in cui $a_0\neq 0$.
L'equazione $f(x)=\pm 1$ ha un numero finito di soluzioni, pertanto $S(f(x))$ non è vuoto. Supponiamo che $S(f(x))$ sia finito e chiamiamo $p_1, p_2,\ldots, p_k$ i suoi elementi. Allora, detto $P=p_1p_2\ldots p_k$, abbiamo che $\displaystyle f(a_0Px)=a_0 \left(1+\sum_{i=1}^m a_ia_0^{i-1}P^ix^i \right)=a_0g(x)$. Per lo stesso ragionamento di prima, esistono $n$ intero e $q$ primo tali che $q\mid g(n)$. Allora $q\mid f(a_0Pn)$, ma ciò è assurdo poiché $q\nmid P$. Dunque, $S(f(x))$ non è finito.

[jordan]

Sì, mi stupisco che questo problema abbia resistito così tanto, vista la facilità.. vai col prossimo