129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Ido Bovski
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129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Messaggio da Ido Bovski » 19 set 2012, 23:04

Determinare tutte le soluzioni intere dell'equazione
$$\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1.$$

Ido Bovski
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Re: 129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Messaggio da Ido Bovski » 10 ott 2012, 17:48

Hint:
Testo nascosto:
Cosa si può dire dei divisori primi di LHS?

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jordan
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Re: 129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Messaggio da jordan » 11 ott 2012, 10:40

\[ y^5-1=\frac{x^7-1}{x-1}=1+x(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) \]
Dato che $2\mid x(x+1)$ allora
\[ y^5-1\equiv \frac{x^7-1}{x-1} \equiv 1 \pmod 2\]
Abbiamo che $\displaystyle q(x):=\frac{x^7-1}{x-1}$ e' il settimo polinomio ciclotomico con dominio $\mathbb{R}\setminus\{1\}$; ora $q(0)=q(-1)=1$ e $q(2)=2^7-1$, che non sono esprimibili nella forma $y^5-1$; in tutti gli altri casi abbiamo $|x-1|\ge 2$, per cui possiamo definire un primo $p$ tale che $p \mid x-1$.
$\bullet$ Caso 1: $7\nmid x-1$.
In tal caso $\displaystyle \upsilon_p\left(\frac{x^7-1}{x-1}\right)=\upsilon_p(7)=0$, in altre parole se $p\mid x-1$ allora $p\nmid \displaystyle \frac{x^7-1}{x-1}$. Allora $7\mid \text{ord}_p(x) \mid \varphi(p)=p-1$, cioè tutti i primi divisori di $x^7-1$ (e quindi anche di $\displaystyle \frac{x^7-1}{x-1}$) hanno resto $1$ modulo $7$. Abbiamo quindi
\[ \frac{x^7-1}{x-1} \equiv 1 \pmod 7 \implies y^5-1 \equiv 1 \pmod 7 \implies y \equiv 4\pmod 7 \]
Notiamo infine che $y-1 \mid y^5-1 = \frac{x^7-1}{x-1} \mid x^7-1$, per cui anche tutti i divisori primi di $y-1$ sono $\equiv 1 \pmod 7$, i.e. $y-1 \equiv 1 \pmod 7$, assurdo.
$\bullet$ Caso 2: $7\mid x-1$.
Ragionando come sopra, la fattorizzazione canonica di $\displaystyle \frac{x^7-1}{x-1}$ sarà $7 \cdot p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$ dove $p_i\equiv 1 \pmod 7$ per ogni $i=1,2,\ldots,k$; in particolare
\[ \frac{x^7-1}{7(x-1)} \equiv 1 \pmod 7 \]
Dato che $7 \mid \frac{x^7-1}{x-1}$ allora anche $7\mid y^5-1$, ma $\text{gcd}(5,\varphi(7))=1$, per cui anche $7\mid y-1$ (e, vista la fattorizzazione sopra, $7 || y-1$). Esisteranno quindi degli interi $X,Y$ tali che $x=7X+1$ e $y=7Y+1$ (con $7\nmid Y$ e $X\neq 0$). Abbiamo:
\[ \sum_{i=0}^6{(7X+1)^i}=(7Y+1)^5-1 \]
che in $\mathbb{Z}/7^2\mathbb{Z}$ implica
\[ \sum_{i=0}^6{(7iX+1)}=5\cdot 7 Y \implies 7+7X\sum_{i=0}^6{i}=5\cdot 7 Y \implies 7=5\cdot 7 Y\]
cioè $5Y \equiv 1 \pmod 7$, i.e. $Y \equiv 3 \pmod 7$.
D'altra parte sappiamo che $\frac{x^7-1}{7(x-1)} \equiv 1 \pmod 7$ per cui anche $\frac{1}{7}(y^5-1) \equiv 1 \pmod 7 \implies Y=\frac{1}{7}(y-1) \equiv 1 \pmod 7$, assurdo. []
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Re: 129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Messaggio da Ido Bovski » 11 ott 2012, 16:51

Sì, la soluzione va bene, ma diciamo che ti sei complicato un po' le cose.

Sia $p$ un divisore primo di $LHS$. Se $x\equiv 1 \pmod p$, allora $\displaystyle \frac{x^7-1}{x-1}=x^6+\ldots+1\equiv 7 \pmod p$ e pertanto $p=7$. Se invece $\text{ord}_p(x)>1$, poiché $p\mid x^7-1$, ovvero $x^7\equiv 1 \pmod p$, si ha che $\text{ord}_p(x)\mid 7$, da cui $\text{ord}_p(x)=7$ e quindi $7\mid \varphi(p)=p-1$. Allora tutti i divisori (anche non primi) di $LHS$ hanno resto $0$ oppure $1$ modulo $7$. Ora poiché $y^5-1=(y-1)(y^4+\ldots+1)$, si ha che $y\equiv 1, 2 \pmod 7$, ma per tali valori della $y$, $(y^4+\ldots+1)\not\equiv 0, 1 \pmod 7$, assurdo.

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Re: 129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Messaggio da Ido Bovski » 11 ott 2012, 17:08

Non credo valga la pena aprire un altro thread ad hoc, quindi lo metto qui.

Bonus. Sia $\Phi_n$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico e sia $x$ un intero qualsiasi. Allora ogni divisore primo $p$ di $\Phi_n(x)$ è tale che $p\mid n$ oppure $n\mid p-1$.

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kalu
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Re: 129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Messaggio da kalu » 11 ott 2012, 19:34

Ido Bovski ha scritto:Bonus. Sia $\Phi_n$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico e sia $x$ un intero qualsiasi. Allora ogni divisore primo $p$ di $\Phi_n(x)$ è tale che $p\mid n$ oppure $n\mid p-1$.
$ n $ non potrebbe risultare un multiplo qualsiasi di $ ord_p(x) $?
Ad esempio, se $ x \not\equiv 1 \pmod{p} $, si ha che $ p \mid \Phi_{k(p-1)}(x) \ \forall \ k\ge1 $... :roll:
EDIT: Assolutamente falso, ho sbagliato.
Ultima modifica di kalu il 12 ott 2012, 13:56, modificato 1 volta in totale.
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Re: 129. $(x^7-1)/(x-1)=y^5-1$

Messaggio da jordan » 12 ott 2012, 01:07

Ido Bovski ha scritto:Bonus. Sia $\Phi_n$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico e sia $x$ un intero qualsiasi. Allora ogni divisore primo $p$ di $\Phi_n(x)$ è tale che $p\mid n$ oppure $n\mid p-1$.
Abbiamo $p \mid \Phi_n(x) \mid x^n-1 \implies p\nmid x$ e in piu' $\text{ord}_p(x) \mid n$. Se $\text{ord}_p(x)=n$ allora $n\mid p-1$ per Fermat. Altrimenti $\text{ord}_p(x)<n$ e in tal caso, dato che $p\mid x^{\text{ord}_p(x)}-1=\prod_{i\mid \text{ord}_p(x)}{\Phi_i(x)}$, esiste $i\le \text{ord}_p(x)<n$ (in particolare $i\mid n$) tale che $p\mid \Phi_i(x)$. Abbiamo quindi
\[ p\mid \text{gcd}\left(\Phi_n(x),\Phi_i(x)\right)\text{ per qualche }i\mid n\text{ tale che }0<i<n \]
Di nuovo, $f(z)=z^n-1=\prod_{j\mid n}{\Phi_j(z)}$, quindi $x$ e' doppia radice di $f(z)$, i.e. $f'(x)=0 \pmod p$, che e' $p\mid nx^{n-1}$. Dato che $p\nmid x$ per quanto detto sopra, abbiamo la tesi. []
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